3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率第三章直线与方程笛卡儿(1596-1650):法国数学家、物理学家和哲学家,堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为“近代科学的始祖”.几何问题代数化观察下面的跷跷板,跷跷板的位置固定吗?1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.(难点)4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.(重点、难点)思考1已知直线l经过点P,直线l的位置能够确定吗?yxOlll不确定.过一个点有无数条直线.这些直线有何区别?它们的倾斜程度不同.如何描述直线的倾斜程度?Pxyoα规定:当直线l和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°.lx轴正向与直线l向上方向之间所成的角.直线倾斜角α的范围为:0180.一、直线的倾斜角思考2直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系?①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.xyOllPll'思考3确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么?xyoα【提示】直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可.Pl思考4日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢?前进量升高量升高量坡度(比)前进量45°3m3m坡度越大,楼梯越陡.前进量升高量α“坡度(比)”是“倾斜角”的正切值.xyo45°二、直线斜率的定义通常用小写字母k表示,即ktan(90).一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).倾斜角α不是90°的直线都有斜率.时oα=90,k不存在.注意:xyoα111(,)Pxy222(,)Pxyxyo1x2x1y2y21(,)Qxy211212,,PPQxxyy且如图,若α为锐角,21RtPPQ在中,2211tantanQPkPPQPQ2121yyxx0.思考5已知一条直线上的两点坐标,如何计算斜率?结论:当时,斜率k≥0.090xyo111(,)Pxy222(,)Pxy若α为钝角,=设o211212α=180-θ(∠PPQθ),且xx,yy,otanα=tan(180-θ)=-tanθ.21在RtΔPQP中,21PQtanθ=PQ2112y-y=,x-x所以21211221y-yy-yk=tanα=-=x-xx-x0.2x1x1y2y21(,)Qxy结论:当90180时,斜率k<0.同样,当的方向向上时,也有成立.21PP2121tanyyxx111(,)Pxy222(,)Pxyxyoxyo111(,)Pxy222(,)Pxy说明:此公式与两点坐标的顺序无关.222(,)Pxy111(,)Pxy思考6当直线P1P2平行于x轴,或与x轴重合时,还适用吗?为什么?2121yykxxxyO21210yykxx适用222(,)Pxy111(,)PxyxyO思考7当直线平行于y轴,或与y轴重合时,公式还适用吗?不适用,因为分母为0,斜率不存在.三、斜率公式公式特点:(1)与两点坐标的顺序无关.(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.211221().yykxxxx经过两点的直线的斜率公式111222(,),(,)PxyPxy12()xx例1如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyACB121;437ABk解:直线AB的斜率1121;0(4)42BCk直线BC的斜率直线CA的斜率1231.033CAk分析:直接利用公式求解.由及知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由知,直线BC的倾斜角为钝角.0ABk0CAk0BCk斜率为正,倾斜角为锐角;斜率为负,倾斜角为钝角;斜率为0,倾斜角为0°;斜率不存在时,倾斜角为直角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.xy解:设A1(x1,y1)是l1上任意一点,根据斜率公式有1101,0yx即x1=y1.设x1=1,则y1=1,于是A1的坐标是(1,1).过原点及点A1(1,1)的直线即为l1.1l分析:找出直线上异于原点的点.1AO同理l2是过原点及点A2(1,-1)的直线,l3是过原点及点A3(1,2)的直线,l4是过原点及点A4(1,-3)的直线.x1A1l3l2l4l2A4Ay3AOl11.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x等于()A.-1B.1C.-3D.3解:选C.因为又A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即解得:x=-3.ABAC7-5x-5x-5k==2,k==-,4-3-1-34x524,2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,为α+45°;当135°≤α<180°时,为α-135°D3.请标出以下直线的倾斜角.xyOxyOxyOoABc-c(1)k==0,α=0.b-a解:4.已知a,b,c是两两不等的实数,求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角.(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).线o(2)直CD的斜率不存在,α=90.oPQ(3)k=1,α=45.xO2-115.画出经过点(0,2),且斜率为2与-2的直线.y解:斜率为2的直线经过(0,2),(-1,0)两点;斜率为-2的直线经过(0,2),(1,0)两点.1.直线倾斜角的定义及其范围:2.斜率k与倾斜角之间的关系:3.斜率公式:ktan(90).“几何问题代数化”的思想.2112122112().yyyykkxxxxxx或0180.不是每一粒种子都能发芽,不是每一段路程都铺满鲜花,不过不要忘记,乌云遮不住太阳的光华。3.1.2两条直线平行与垂直的判定平面内两条直线有哪些位置关系?平行或相交能否通过斜率来判断两条直线的位置关系?xyO.为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度,我们引入倾斜角的概念,进而又引入了直线的斜率.1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.(重点)2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.(难点)xyOl212时,k与k满足什么关系?∥即12k=kllll1212∥,或与重合ll1212设两条直线,的斜率分别为思考1k,k,12k=k12α=αl1ll12设两条直线,的斜率思都考2不存在,ll12两直线与有何位置关系?xyO解析:斜率均不存在的两条直线平行或重合.一、两条直线平行的判定特别地,两直线的倾斜角都为90°时,它们互相平行或重合..ll1212k=k公式成立的条件:①两直线不重合;②两直线的斜率均存在.xyO1l2l设两条直线与的斜率分别为,1l2l2,k1k例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.解:直线BA的斜率BA3-01k==,2-(-4)2PQ2-11k==,-1-(-3)2直线PQ的斜率因为所以线BAPQk=k,直BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.因为所以所以边边ABCDBCDA1k=k=-,23k=k=,2ABCD,BCDA.四形ABCD是平行形解四.:分析:判断两组对边是否分别平行.yl1Oxl2α1α2ll1212设两条直线,的斜率分别为k思3,k考,ll1212⊥时,k与k满足什么关系?图o21o21112如,α=α+90,1tanα=tan(α+90)=-,tanα即kk=-1.12121.llkk反之,成立,可得ll112设两条直线的斜思考率k=0,的4斜率不存在,ll12⊥吗?1lxyo2l若一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,则两直线互相垂直.ll12⊥二、两条直线垂直的判定ll1212设两条直线与的斜率分别为k,k,ll1212⊥kk=-1.特别地:一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.yl1Oxl2两直线的斜率均存在.例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.解:直线AB的斜率AB6-02k==,3-(-6)3PQ-6-33k==-,6-02直线PQ的斜率因为所以线ABPQkk=-1,直AB⊥PQ.分析:分别求出两直线的斜率,观察斜率之间的关系.例4已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状.分析:结合图形可猜想AB⊥BC,△ABC为直角三角形.线AB1直AB的斜率k解=-:,2线BC直BC的斜率k=2,因为所以线,所以oABBCkk=-1,直AB⊥BC即∠ABC=90,ΔABC是直角三角形.1.已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1∥l2,则a的值为()A.-2B.2C.0D.解:选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2,可知a=-2.122.直线l的倾斜角为30°,若直线l1∥l,则直线l1的斜率k1=______;若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_______.解:由斜率定义,直线l的斜率k=tan30°=因为l1∥l,所以k1=k=.因为l2⊥l,所以k2·k=-1,答案:3321k3.k所以33333,3.若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与经过点(-2,1),斜率为的直线垂直,则实数a的值为____________.23234.判断下列各对直线平行还是垂直:(1)经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1,与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2.(2)经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l3,与经过点M(1,-4)且斜率为-5的直线l4.解:(1)垂直.解:(2)垂直.5.已知A(1,2),B(-1,0),C(3,4)三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?线线因为两线点所以点线ABBCABBC0-2直AB的斜率k==1;-1-14-0直BC的斜率k==1.3-(-1)k=k,且直有公共B,三解共:.分析:证明两直线斜率相等且有公共点.“几何问题代数化”的思想.ll1212k=k1.两条直线平行的判定:(两条直线不重合且斜率均存在).2.两条直线垂直的判定:ll1212⊥kk=-1(两条直线不重合且斜率均存在)不是什么人都可以交往的,慎交朋友。笑看人生潮起潮落,守住自己的心。3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程如何确定高架桥直线桥面的确切位置呢?(1)已知两点可以确定一条直线.2121yykxx在平面直角坐标系内如何确定一条直线呢?(2)已知直线上的一点和这条直线的一个方向(斜率或倾斜角)可以确定一条直线.斜率公式:(x1≠x2)1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.(重点)2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.(难点)3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.会利用直线方程判断直线平行或垂直.思考1已知直线l经过已知点P0(x0,y0),并且它的斜率是k,P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y满足什么关系?xyOP(x,y)lP0(x0,y0)00y-yk=x-x为00可化y-y=kx-x关于x,y的方程思考2满足方程y-y0=k(x-x0)的所有点P(x,y)是否都在直线l上?为什么?当时时满00000P