1复数复数基础知识一、复数的基本概念(1)形如a+bi的数叫做复数(其中);复数的单位为i,它的平方等于-1,即.其中a叫做复数的实部,b叫做虚部实数:当b=0时复数a+bi为实数虚数:当时的复数a+bi为虚数;纯虚数:当a=0且时的复数a+bi为纯虚数(2)两个复数相等的定义:(3)共轭复数:zabi的共轭记作zabi;(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;zabi,对应点坐标为,pab(5)复数的模:对于复数zabi,把22zab叫做复数z的模;二、复数的基本运算设111zabi,222zabi(1)加法:121212zzaabbi;(2)减法:121212zzaabbi;(3)乘法:1212122112zzaabbababi特别22zzab。(4)幂运算:1ii21i3ii41i5ii61i三、复数的化简cdizabi(,ab是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:22acbdadbcicdicdiabizabiabiabiabRba,1i20b0b00babiaRdcbadbcadicbia)特别地,,,,(其中,且2对于0cdizababi,当cdab时z为实数;当z为纯虚数是z可设为cdizxiabi进一步建立方程求解一、知识梳理1、复数的有关概念(1)复数的概念:形如(,)abiabR的数叫做复数,其中,ab分别是它的。若,则abi为实数,若,则abi为虚数,若,则abi为纯虚数。(2)复数相等:abicdi(,,,)abcdR。(3)共轭复数:abi与cdi共轭(,,,)abcdR。(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做。实轴上的点都表示;除原点外,虚轴上的点都表示;各象限内的点都表示。(5)复数的模:向量OZ的模r叫做复数zabi的模,记作:,即zabi。2、复数的几何意义(1)复数zabi复平面上的点(,)(,)ZababR。(2)复数zabi复平面上的向量OZ。3、复数的运算(1)复数的四则运算设1zabi,2zcdi(,,,)abcdR,则①加法:12zz;②减法:12zz;③乘法:12zz=;一一对应一一对应3④除法:12zz==(0cdi)。(注:分母实数化)(2)复数的运算定律:12zz;123zzz;12zz;123()zzz;mnzz=;nmz;12nzz=。4、几个重要的结论(1))|||(|2||||2221221221zzzzzz;(2)22||||zzzz;(3)若z为虚数,则22||zz。复数最重要的一点就是:记住例1:已知14zabi,求(1)当,ab为何值时z为实数(2)当,ab为何值时z为纯虚数(3)当,ab为何值时z为虚数(4)当,ab满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。例2:已知134zi;234zabi,求当,ab为何值时12=zz例3:已知1zi,求z,zz;1i24变式:1是虚数单位,等于()A.iB.-iC.1D.-1变式2:已知i是虚数单位,32i1i()A1iB1iC1iD.1i变式3:已知i是虚数单位,复数131ii=()A2iB2iC12iD12i变式4:已知i是虚数单位,复数1312ii()(A)1+i(B)5+5i(C)-5-5i(D)-1-i变式5:已知i是虚数单位,则113iii()(A)1(B)1(C)i(D)i变式6:已知=2+i,则复数z=()(A)-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i变式7:i是虚数单位,若,则乘积的值是(A)-15(B)-3(C)3(D)15真题实战:1.(2005)若ibiia)2(,其中a、b∈R,i是虚数单位,则22ba=()A.0B.2C.25D.52.(2005)已知向量,//),6,(),3,2(baxba且则x=.3.(2007)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=A.-2B.12C.12D.24.(2008)已知02a,复数zai(i是虚数单位),则||z的取值范围是()A.(15),B.(13),C.(15),D.(13),5.(2009)下列n的取值中,使ni=1(i是虚数单位)的是A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5i41i()1-i1iZ+17(,)2iabiabRiab56.(2011)设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则A.-iB.iC.-1D.17.(2012)设i为虚数单位,则复数=()A.3B.1C.-5D.-68.(2013)若()34ixyii,,xyR,则复数xyi的模是A.2B.3C.4D.5二、例题分析类型一:复数的有关概念及复数的几何意义【例1】当实数m为何值时,22lg(22)(32)zmmmmi(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内。类型二:复数相等【例2】已知集合2(3)(1),8Mabi,集合23,(1)(2)Niabi同时满足,MNMMN,求整数,ab的值。【例3】已知,xy为共轭复数,且2()346xyxyii,求,xy。43ii6练习:已知复数z的共轭复数为z,且满足292zzizi,求z。类型三:复数的代数运算【例4】计算:(1)45(22)(13)ii;(2)20122321123iii;(3)6123132iiii;(4)220121iii。类型四:复数加减法的几何意义【例5】如图,平行四边形OABC,顶点,,OAC分别表示0,32,24ii,试求:(1)AO、BC表示的复数;(2)对角线CA所表示的复数。练习:若z为复数,且1z,求zi的最大值。7类型五:复数综合【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数z。(1)1016zz;(2)z的实部和虚部都是整数。练习:已知虚数z使得121zzz和221zzz都为实数,求z。三、巩固提高1、3353iiii的值是()8AiB-iC1D–12、当12iz时,150100zz的值是()A1B-1CiD–i3、36(13)2(1)12iiii等于()A0B1C-1Di4、设a、b、c、dR,若iiabcd为实数,则()(A)0bcad(B)0bcad(C)0bcad(D)0bcad5、221111iiii()(A)i(B)i(C)1(D)16、2005)11(ii()A.iB.-iC.20052D.-200527、对于1002001122iiz,下列结论成立的是()Az是零Bz是纯虚数Cz是正实数Dz是负实数8、已知33(23)izi,那么复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9、设非零复数,xy满足022yxyx,则代数式19901990xyxyxy的值是()A19892B-1C1D010、若2|43|iz,则|z|的最大值是()A3B7C9D511、复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转2,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到点B,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为()9A-1B1CiD-i12、设复数:12121,2(),zizxixRzz若为实数,则x()A.-2B.-1C.1D.213、若复数z满足方程1zii,则z.14、设复数122,13zizi则复数215ziz的虚部等于.15、已知1510105)(2345xxxxxxf.求)(2321if的值.16、已知复数032zi,复数z满足003zzzz,则复数z。17、知1322i,求使*niN的最小正整数n.18、计算:302422232(48)(48)1123117iiiiii19、设iz31,iz12,试求满足nnzz21的最小正整,mn的值。20、是否存在复数z,使其满足aizizz32()aR,如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由1021、设等比数列nzzzz32,1,其中1231,,zzabizbai(,abR,且0a)(1)求,ab的值;(2)试求使021nzzz的最小自然数n(3)对(2)中的自然数n,求1z2z…nz的值。22、已知(0)1aizai,且复数()zzi的虚部减去它的实部所得的差等于32,求复数的模;1123、已知复数(13)(1)(13),iiizzaii当2z,求实数a的取值范围。24、在复数范围内解方程iiizzz23)(2(i为虚数单位)