2013届高三数学一轮复习课件第三章数列 数列求和与递推数列

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列求和与递推数列 考点考纲解读1数列求和的几种常规方法考查错位相减法、裂项求和法、分组求和法等常用方法.2递推公式,由递推公式求解通项公式掌握由递推公式求通项公式的一些常用技巧,如将其转化为等差数列、等比数列来解决问题等. 本节内容是高考中的重点与难点,要求学生有较强的应用变通能力和综合能力,常出现在解答题中,也是拉开分数的关键.复习过程中,要强调常规方法的应用,解题的逻辑性,步骤的完整性、细节的把握,从而提高观察、分析、归纳探索的能力,重点注意高考中对数列求和基础上的不等式证明. 1.递推公式(1)已知数列{an}的前n项和Sn,则an= (2)已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an= .(3)已知an-an-1=f(n)(n≥2),且{f(n)}成等差(比)数列,则求an可用累加法.(4)已知 =f(n)(n≥2),求an用累乘法.(5)已知数列{an}的递推关系,研究an与an-1的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.11,1,,2.nnSnSSn1nnTT1nnaa(6)已知an与Sn的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2).转化为只含an或Sn的递推关系,再利用上述方法求出an.2.数列求和(1)基本公式法①等差数列求和公式:Sn= =na1+ d.②等比数列求和公式:1()2nnaa(1)2nnSn= ③ + + +…+ =2n.(2)错位相减法对于求一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法,如:an=bn·cn,其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,记Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn,则qSn=b1c2+…+bn-1cn+bncn+1,两式相减整理即得.111(1),(1)(1).11nnnaqaaqaqqqq0Cn1Cn2CnCnn(3)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和.(4)拆项(裂项)求和把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:①若{an}是公差为d的等差数列,则 = ( - ).11nnaa1d1na11na② =( - ).③= [ -].④ = (-).⑤= ( - ).⑥ = - .1(21)(21)nn12121n121n1(1)(2)nnn121(1)nn1(1)(2)nn1ab1abab1nkn1knkn1Cmn1CmnCmn⑦n·n!=(n+1)!-n!,⑧an= (5)倒序相加法根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.(6)并项求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.(7)其他求和法如:归纳猜想法,奇偶法等.数列求和的方法多种多样,要视具体情形11,1,,2.nnSnSSn选用合适的方法.1.若下面的流程图输出的S是126,则①应为 ()(A)n≤5?.(B)n≤6?.(C)n≤7?.(D)n≤8?.【解析】∵S=21+22+23+24+25+26= =126,∴由程序框图知,要输出S=126,应填的条件为n≤6?.【答案】B62(21)212.已知数列{an}中,a1=1,an+1an=an-(-1)n(n∈N*),则 的值为 ()(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】由已知得a2=1+1=2,a3=1- = ,a4=1+2=3,a5=1- = ,故 = .【答案】D35aa151615838341212132335aa343.数列{an}中,an= ,其前n项和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为 ()(A)-10.(B)-9.(C)10.(D)9.【解析】数列{an}的前n项和为 + +…+ =1- + - +…+ - =1- = = ,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0.即为10x+y+9=0,所以其在y轴上的截距为-9.【答案】B1(1)nn9101121231(1)nn1212131n11n11n1nn9104.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列通项an=.【解析】 - =1, -=-1,{ }是以 为首项,以-1为公差的等差数列, =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴an=- .【答案】-  1na11na11na1na1na11a1na1n1n题型1裂项求和与拆项分组求和 例1(1)数列, , ,…, ,…的前n项和Sn=.1212312341234(1)k(2)求数列1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,…的前n项和Sn.【分析】(1)此数列的第n项应为an=(注意不是an= ),裂项求和时注意项数.2(3)nn2(1)nn(2)先找到通项公式,再用分组求和法求和.【解析】(1)∵此数列的第n项an= = (- ),∴数列{ - }的前n和Tn=(1- )+( - )+( - )+…+( - )=(1+ + +…+ )-( + + +…+ )=1+ + - - - = -- -,2(3)nn231n13n1n13n14121513161n13n12131n14151613n121311n12n13n11611n12n13n∴Sn= Tn= - ( + + ).231192311n12n13n(2)∵1+2+3+…+n= n(n+1)= n2+ n.∴Sn= (12+22+32+…+n2)+ (1+2+3+…+n)= × n(n+1)(2n+1)+ × n(n+1)= n(n+1)(n+2).12121212121216121216【答案】(1) - ( + + )1192311n12n13n变式训练1(1)数列{an}的通项公式an= (n∈N*),若前n项和为Sn,则Sn=.12nn(2)数列5,55,555,…的前项和等于 ()(A) (10n-1).(B) (10n-1)+n.(C) .(D) .595950(101)4581nn50(101)8181nn= ( + - -1).122n1n2【解析】(1)∵an= ,∴an= .∴Sn= ( -1+ - +…+ - + - )= (-1-++ )12nn22nn123421n1n2nn1221n2n(2)an= (10n-1)= ·10n- .∴Sn= (10+102+103+…+10n)- n= [ -n]= .59595959595910(101)9n50(101)4581nn【答案】(1) (+- -1)(2)C122n1n2 例2(河南省周口市2011届高三期中考试)已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+ bn=1.12题型2错位相减法与倒序相加法求和(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列;(3)记cn=an·bn,求{cn}的前n项和Sn.【分析】利用等差数列的性质求等差数列的通项公式,并利用和Tn与项bn的关系与等比数列的定义即可证明数列{bn}是等比数列,由cn=an·bn,可知cn的通项公式是由一个等差数列和等比数列的积,选用错位相减法求数列{cn}的和.【解析】(1)设{an}的公差为d,则:a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=18,∴ ∴a1=2,d=4.∴an=2+4(n-1)=4n-2.116,418,adad(2)当n=1时,b1=T1,由T1+ b1=1,得b1= .当n≥2时,∵Tn=1- bn,Tn-1=1- bn-1,∴Tn-Tn-1= (bn-1-bn),即bn= (bn-1-bn).∴bn= bn-1.∴{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn= ( )n-1=2·( )n.122312121212132313231313∴cn=an·bn=(4n-2)·2·( )n=4(2n-1)( )n.Sn=4×( )+12×( )2+…+(8n-12)×( )n+(8n-4)×( )n, Sn=4×( )2+12×( )3+…+(8n-12)×( )n+(8n-4)×( )n+1.∴Sn- Sn= Sn=4× +8×( )2+8×( )3+…+8×( )n-(8n-4)×( )n+1= +8× -(8n-4)×( )n+1131313131313131313131313231313131313432111()[1()]33113n13= -4×( )n-(8n-4)×( )n+1.∴Sn=4-4(n+1)·( )n.83131313【点评】错位相减法实质上是将数列转化为特殊的等比数列,若数列的每一项都可视为由两部分组成,其中第一个因数部分形成等差数列,第二个因数部分形成等比数列,当通项公式是由这样构成的可用这种方法.变式训练2求和:Sn=(x+ )2+(x2+ )2+…+(xn+ )2.【解析】Sn=(x+ )2+(x2+ )2+…+(xn+ )2=(x2+x4+…+x2n)+( + +…+ )+2n,当x=±1时,Sn=2n+2n=4n;当x≠±1时,Sn= + +2n= +2n.综上可知,当x=±1时,Sn=4n;1x21x1nx1x21x1nx21x41x21nx222(1)1nxxx22211(1)11nxxx22222(1)(1)(1)nnnxxxx当x≠±1时,Sn= +2n.22222(1)(1)(1)nnnxxxx 例3已知lgx+lgy=1,且Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn,求Sn.【分析】结合对数的性质和条件,可考虑倒序相加法.【解析】因为lgx+lgy=1,所以lg(xy)=1.∵Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn,∴Sn=lgyn+lg(yn-1x)+lg(yn-2x2)+…+lg(yxn-1)+lgxn,两式相加得:2Sn=(lgxn+lgyn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lgyn+lgxn)=lg(xn·yn)+lg(xn-1y·xyn-1)+…+lg(yn·xn)=n[ =n2lg(xy)=n2.所以Sn= .【点评】倒序相加法主要适用于前后具有“对称性”的数列,即距首、末两端等距离的两项之和相等的形式.lg()lg()lg()]nxyxyxy个22n变式训练3(江西省“八校”2011年4月高三联合考试)数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N*).122nnnnaa(1)证明:数列 是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得 = ,即 = +1,即 - =1.∴数列 是公差为1的等差数列.2nna112nna2nnnaa112nna2nna112nna2nna2nna(2)由(1)知 = +(n-1)×1=n+1,∴an= .(3)由(2)知bn=n·2n,Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,相减得:-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1.∴Sn=(n-1)·2n+1+2.2nna12a21nn2(12)12n 例4(1)(2011年石景山期末14)已知数列{an}满足a1=22,an+1-an=2n,则数列{an}的通项公式为.题型3利用累加法、累乘法求通项(2)已知