2.1数列的概念与简单表示法

三角形数1,3,6,10,.…..正方形数1,4,9,16,……观察下列图形：思考1：这些数有什么规律吗？1，2，3，4，5，···n，···.（1）1，，，，，···，···.（2）n1213141511，1.4，1.41，1.414，···.（3）－1，1，－1，1，···.（5）10，9，8，7，6，5，4.（4）3，3，3，3.（6）思考2：这些数的共同特点是什么?按照一定顺序排列的一列数按照一定顺序排列的一列数叫数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排第二位的数称为这个数列的第2项，······，排第n位的数称为这个数列的第n项.1、数列定义2、数列的项：如：数列（4）10，9，8，7，6，5，4。数列（4′）4，5，6，7，8，9，10。如：数列（5）－1，1，－1，1，···。1.相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?2.一个数列的数可以重复吗?3、数列的一般形式a1,a2,a3,…an,…上面数列可简记为{an}，其中an是数列的第n项2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列1）根据数列项数的多少分：1nnaa（）1nnaa（）1nnaa（）4、数列的分类练习P28观察这说明：数列的项an是序号n的函数.所以：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义，那可得到一个数列f(1),f(2),f(3),…f(n),…即数列是一种特殊的函数。，，，，，51413121112345…项an序号n5、数列与函数的关系6、数列的通项公式如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。1nan1nna（）1，，，，，···.21314151如数列：通项公式为又如数列：－1，1，－1，1，···.通项公式为(1)(2)1nnannann1na根据下面数列的通项公式，写出它的前4项：关于数列的通项公式3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数.1、不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列5）1，1.4,1.41,1.414,…2、数列的通项公式不唯一如：1,1,1,1,…可写成(1)nna121,12,nnkkNankkN或4、数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项。例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：12,4,6,8;2491625111(3)123442020（）（），，，；，，，；（），，，。练习：P311,42nan2)1(nan11(1)nnan1)1(1nna观察数列通项公式的关键是探求第n项an与项数n的关系数列2，4，6，8，10，……其通项公式是：nan2图象为：an1098765432012345nnan122436…………k2k列表为:图象为直线上的无数个孤立点例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an30272421181512963o12345n13nna图象为曲线上的无数个孤立点1,3,6,10,.…..提问：这些数有什么规律吗？首项为1,从第2项起,第n项等于第n-1项加上n.也就是a1=1,an=an-1+n(n1)已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。7、数列的递推公式如数列1，3，6，10的递推公式可表示为a1=1,an=an-1+n(n1)解析式法列表法图象法1.通项公式2.递推公式一群孤立的点8、数列的表示方法例3、设数列满足写出这个数列的前5项。na111111naaann解：由题意可知5811351123112111453423121aaaaaaaaa练习：P31练习T2补充1：写出下列数列的一个通项公式,4,3,2,11,1,1,1,12,41,31,21,15,1,1,1,13,4,3,2,14,41,31,21,16,0,2,0,27,9999,999,99,98nan112na,1,1,1,13nna13nann114nan15nann11611171nna1108nna小结：本节课学习的主要内容有：1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数2、数列的一般形式:简记为,,,,,321naaaana3、数列与函数：数列实质是特殊的函数（离散函数）；4、数列的分类:有穷数列、无穷数列;递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。5、数列的表示方法：（1）解析式法（通项公式法、递推公式法）（2）列表法（3）图象法(一群孤立的点)(2)课时作业本:必做P111、2、3、4、5选做P116(1)书面作业(做在课本)课本P33习题2.1A组2、3补充2：求以下各数列的通项公式1)1,4,9,16,25,19252),2,,8,,2223)1,3,5,7,9,4)1,3,5,7,9,2222213243545),,,,13576)7,77,777,7777,2nan22nna21nan1121nnan2121nnnan71019nna