第7章稳定球面腔

第七章稳定球面腔§1方形镜对称共焦腔一、积分方程的简化形式1、变量未分离21]Rr1[RRrRR2222RRrL2yxR2r]R2r1[RR22222L2yx22ydxde)yx(uLie)yx(uLyyxxikmnikLmnmn,,L2)yy(L2)xx(L22(x,y)(x,y)证LyyxxLaaLxxikmikLmmxde)x(uLie)x(uaaLyyiknikLnnyde)y(uLie)y(u2、变量分离mn=mnumn(x,y)=um(x)un(y)LyxLyxLyyLxxL222)(2)(222222ydxdeyxuLieLxxikmnikLyy),(ydxdeyxuLiyxuLxxLikmnmnmn)yy(),(),(二、近似解析解1、本征函数2s022wyx-s0ns0mmn)ewy2(H)wx2(H)yx(u,Lw0s镜面上的基模光斑半径H0(x)=1H1(x)=2xH2(x)=4x2-2厄米多项式2、本征值])1nm(Lk[imn2e三、自再现模特征1、场振幅分布x011/ewosu0(x)2s022wyx00e)yx(u,2s022wyxs010ewx22)yx(u,2s022wyx2s0220e)2wx8()yx(u,x0u1(x)x0u2(x)(1)基模光斑半径振幅降至最大值的1/e处半径(2)模参数m、n分别为沿x、y轴的节线数TEM00TEM02TEM11TEM01TEM20TEM102、场相位分布镜面为等相位面(u为实函数)3、单程衍射损耗(精确解)(3)损耗率小于平行平面腔(球面反射镜有聚焦作用)(4)-F曲线比平行平面腔陡(模式鉴别能力强)F011010010.10.01TEM0TEM1TEM00TEM11平行平面腔共焦腔(1)同一横模,菲涅耳数F越大,损耗率越小(2)菲涅耳数F相同时,模的阶次越高,损耗率越大4、谐振频率(1)计算公式)]1(21[2νnmqLcmnq证2mnmn)1nm(Lkarg)]1(21[22)1(22nmqLcnmLcLqcmnq(2)频间L2cqνL4cnmνν(3)频率简并现象2q+m+n相等的模式,谐振频率相等,如0,0,q、2,0,q-1、0,2,q-1、1,1,q-1等(4)频谱四、行波场1、解析表达式),,()(x-0222)e)(2())(2()(),,(zyxizwynmmnezwyHzwxHzwwzyxE2、物理意义(1)衰减因子)z(ww0反映场振幅随行波场传播而衰减的规律0,0,q2,0,q-10,2,q-11,1,q-1⋮0,0,q-12,0,q-20,2,q-21,1,q-2⋮1,0,q-10,1,q-13,0,q-22,1,q-2⋮1,0,q0,1,q3,0,q-12,1,q-1⋮③焦参数f共焦腔反射镜焦距f=L/2=R/2f(0)ww0②腰斑半径④镜面光斑半径与腰斑半径关系00sw2w证fw000sw22fLw或∵镜面坐标z=f0220w2ff1wf)(w(腰处z=0)①光斑半径w(z)220fz1w)z(w1fzww22202ZW(Z)f-fw0-w00(2)横向分布因子)z(wyx-nm222)e)z(wy2(H))z(wx2(H反映场振幅的横向分布规律(3)相位因子),,(zyxie反映场相位的分布规律fztgnmzRyxkkzzyx122)1()(2),,(①传播因子-kz②相位弯曲因子)(222zRyxkzfz)z(R2等相位面曲率半径证x(0,0,z0)(x,0,z)z令(x,0,z)=(0,0,z0)02)(2kzzRxkkz)z(R2xzz20)zz(R2x02等相位面为抛物面,近似为球面,焦距为R/2,曲率半径为R等相位面方程a)符号凸向+z为+(z坐标为正,则R(z)为正)b)z=0或,则,等相位面为平面zRc)z=f,即镜面处R最小,且等于镜面本身曲率半径z0f-f证0zf1dzdR22fzRf2)fff()f(R2zfz)z(R2③附加相移因子fztgnm1)1(谐振腔单程附加相移2mn)1nm(证z=-f→z=fkL])tg1()([])tg1([),0,0(),0,0(1-1-ffnmfkffnmkfff2)1(4)1(4)1(2nmkLnmnmfk2)1(nm例1求方形镜对称共焦腔镜面上TEM20模的节线位置(用基模镜面光斑半径w0s表示)2s022wyx2s0220e)2wx8()yx(u,解02wx82s02令s021wx例2方形镜对称共焦腔焦参数f=0.4m,光波长为=0.314m,求镜面处光斑半径与等相位面曲率半径解m10214340103140fw460...m108282w2Lw400s.zfz)z(R2mfffffzR8.04.022)()(2§2圆形镜对称共焦腔一、积分方程的简化形式1、变量未分离(x,y)(x,y)L2r2L2r2L)(rrLcosL2)(rr2rrL22cosdrdre)r(uLie)r(ua020]L)(rr[ikmnikLmnmncos,,2、变量分离方法umn(r,)=Rmn(r)e-im证二、近似解析解1、本征函数m)ewr2(L)wr2()r(u2s02wr-2s02mnms0mncos,缔和拉盖尔多项式2、本征值])1n2m(Lk[imn2e1(x)Lm0xm1(x)Lm1三、自再现模特征1、场振幅分布2s02wr00e)r(u,cos2),(202010swrsewrrur0u10(r)r0u00(r)2s02wr2s0201e)wr2-(1)r(u,cos,2s02wr2s02s011e)wr22(wr2)r(ur0u01(r)r0u11(r)(2)模参数TEM00TEM02TEM11TEM01TEM20TEM102、场相位分布镜面为等相位面(u为实函数)3、单程衍射损耗(精确解)规律同方形镜,但略大于方形镜(1)基模光斑半径振幅降至最大值的1/e处半径m、n分别为沿角向、径向的节线、节圆数4、谐振频率(1)计算公式)]1n2m(q[L2c21mnqν(2)频间L2cnqννL4cmν(3)频率简并现象2q+m+2n相等的模式,谐振频率相等,如0,0,q、2,0,q-1、0,1,q-1等(4)频谱0,0,q2,0,q-10,1,q-1⋮0,0,q-12,0,q-20,1,q-2⋮1,0,q-11,1,q-23,0,q-2⋮1,0,q1,1,q-13,0,q-1⋮四、行波场解析表达式),,()(r-22mnm0cos)e)(2(L))(2()(),,(22zrizwmnemzwrzwrzwwzrE1、衰减因子2、横向分布因子3、相位因子)z(ww0m)e)z(wr2(L))z(wr2()z(wr-22mnm22cos),,(zriefztgnmzRrkzzr12)12()(2),,(§3一般稳定球面腔一、稳定球面腔与共焦腔的关系1、以共焦腔任意两个等相位面为反射镜组成的谐振腔是稳定腔证已知焦参数f,任意取两坐标z1、z2,则两镜面曲率半径及腔长分别为z0左镜为凹面镜时，镜面曲率半径R10，等相位面曲率半径R1(z)0左镜为凸面镜时，镜面曲率半径R10，等相位面曲率半径R1(z)01211zfzR2222zfzR12zzL1211zfzR2222zfzR12zzL22121222121121211211111fzzzffzzzzzfzzzRLg22221222212222221222111fzzzffzzzzzfzzzRLg右镜为凹面镜时，镜面曲率半径R20，等相位面曲率半径R2(z)0右镜为凸面镜时，镜面曲率半径R20，等相位面曲率半径R2(z)0z00)fz)(fz()zzf(gg2222212212211gg0212212222221)zzf(-)fz)(fz(2212221442222212221fzz2zzfffzfzzz0f)zz(22212212222221)zzf()fz)(fz(1gg212212121fzzzfg2222122fzzzfg2、任意一个稳定腔都存在一个等价共焦腔证已知稳定腔两镜面曲率半径R1、R2及腔长L,可解出等价共焦腔的焦参数及两镜面的坐标1121Rzfz2222RzfzLzz12)R-(L)R-(L)(221221221LRLRRLLLRzLzz1211221zRfz22222zRfz22112122zRzRzzLzz12)()(12112121LzRzRzLzLRzRzRLLz21211212)R(L)R(L)(211LRL2212121)]R-(L)R-[(L))()((LRRRLRLL211221222122122122222RRLLRLRRLLLRLRLRLLRRLLLRLzz22222zRfz22121221122)2()(2)(RRLRLLRRLRLLRfLRLRRLLRLRRRL)()2()()2(12211221LRLRRLLRLRRRLR)()2(212211222212LRLRRLLRRLRRRL)()2()()(12212122122222zzRfLRLRRLLRLRLRRRLR)()2()()(122121222212)R(L)R(L)LR(Lz2121--)R(L)R(L)LR(Lz2112--22121212)]R(L)R[(L)LRR)(LR)(LR(Lf--只要R1、R2、L满足稳定条件,则f20例R1LR2L①②R1L,R2LR1+R2LR1０,R2LR1+R2L③1RLR2④讨论(1)平凹腔RRR21,Lz0z21,)LR(Lf2R0Lz2222RzfzRLfL2LL)(Rf2证0R)(L)R(L)(111LRLlimzRLLLRLlimzR1R)(L)R(L)(1121)(R)()(R)](L)R[(L))()((21212111211LRLRLRLlimLRRLRLRLlimfRR或)R(L)R(L)LR(Lz2121--)R(L)R(L)LR(Lz2112--22121212)]R(L)R[(L)LRR)(LR)(LR(Lf--)LR(2f4L2(2)对称双凹腔RRR21R0z2L2L-