1.2 Schrdinger方程

量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)这个问题已经由Schrödinger方程圆满解决。下面用一个简单的方案来引进这个方程。先讨论自由粒子：量子力学中最核心的问题就是要解决波函数如何随时间演化以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。,rt1.2Schrödinger方程1.2.1Schrödinger方程的引进量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)其能量与动量的关系是2/2Epm(1)按照deBroglie关系/E，/kp2/k(2)即与具有一定能量和动量的粒子相联系的是平面单色波pEii/,~eetEttkrprr(3)量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)由上式可以看出iEti,p222p222i022pEtmm22i,,2tttmrr(4)利用式（1），可以得出即量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多平面单色波的叠加i/33/21,ed2Ettpprrp(5)i/33/21ied2EtEptprp由此，不难证明i/22233/21ed2Etppprp22i/233/21ied0222EtpEptmmprp所以量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)可见如式（5）所示的波包仍满足方程(4).所以方程(4)是自由粒子的波函数满足的方程.即,在方程(1)中,令i,Etˆipp(6)并作用于波函数上,就可得出方程(4).,tr在此基础上,我们进一步考虑在势场中运动的粒子,可以得到Vr量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)22i,,2tVttmrrr(7)上式就是单粒子的Schrödinger波动方程.它揭示了微观世界中物质运动的基本规律.下面将围绕它进行一系列的讨论.量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)1.定域的概率守恒Schrödinger方程是非相对论量子力学的基本方程.在非相对论(低能)情况下,实物粒子()没有产生和湮没现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目保持不变.对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概率之总和应不随时间变化,即0m23d,d0drtrt全(8)1.2.2Schrödinger方程的讨论量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)以上结论可以从Schrödinger方程加以论证:2*2*i2Vtm(9)2**22*i2tm2**2m(10)由,得*(7)(9)式-式对式(7)取复共轭,(注意),得*VV量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)2***idd2StmS(11)将上式在空间区域中积分,由Gauss定理,可得令*,,,tttrrr(12)**i,2jrtm**1ˆˆ2mpp(13)表示概率密度,表示概率流密度.j量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)因此,式(11)可化为ddddjSSt(14)所以具有概率流(粒子流)密度的意义,是一个矢量.j上式左边代表在闭区域中找到粒子的总概率(或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!)则应表示单位时间内通过的封闭表面而流入内的概率(粒子数).S量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)式(11)或(14)是概率(粒子数)守恒的积分表达式,而式(10)可改写为0jt(15)上式即为概率守恒的微分表达式.d,d0dtt全r(16)即:归一化不随时间而改变.在物理上这表示粒子既未产生也未湮没.在式(11)中,让(全空间),得量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)上面提到的概率守恒具有定域的性质.2.初值问题,传播子由于Schrödinger方程只含波函数对时间的一次微商,只要在初始时刻()体系的状态给定,则以后任何时刻的状态原则上就完全确定了.,tr0t,0r,trt在一般情况下,这个初值问题的求解是不容易的,往往要采用近似方法.但对于自由粒子,容易严格求解.量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)满足自由粒子的Schrödinger方程的解具有如下的形式:i/33/21,ed2Ettpprrp(17)i/33/21,0ed2pprrp式中.2/2Epm的初态波函数为,tr正是的Fourier展开的波幅,它并不依赖于p,0rt量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)上式之逆变换即i/33/21,0ed2rprpr(18)把式(18)代入式(5),得i/i/3331,de,02Ettrdpprrrr(19)这样,体系的初始状态完全决定了以后任何时刻的状态.,0rt,rt由初态完全确定.p,0r量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)更一般讲,取初始时刻为,则ti/i/3331,dde,2Etttrptprrrr3d,;,,()rrrrGttttt(20)式中2331,;,dexpi/i22pGttpttmrrprr3/22expi2i2mmttttrr(21)量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)对于自由粒子,这个传播子由式(21)明显给出.可以证明lim,;,rrrrttGtt(22),;,rrGtt的物理意义如下借助于传播子,体系在时刻的状态可由时刻的状态给出.,;,rrGtt,rt,rt()ttt称为传播子(propagator).,;,rrGtt量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)设初始时刻粒子处于空间点,,t0r0,rrrt按式(20)300,d,;,,;,rrrrrrrtrGttGtt所以即时刻在点找到粒子的概率波幅.0,;,rrGtttr因此,一般地说,如在时刻粒子位于点,则时刻在空间点找到由传来的粒子概率波幅就是,即粒子从传播到了.trtr,rt,;,rrGtt,rt,rt量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)由式(20)可以看出在时刻于空间点找到粒子的概率波幅是时刻粒子在空间中各点的概率波幅传播到点后的相干叠加.tr,rt()ttrr量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)下面讨论势能不显含时间,从初态去求解末态的情况.,0r,rtVt此时,Schrödinger方程的特解表示为,rrtft(23)代入式(7),得22id1d2rrrfVEfttm(24)1.2.3能量本征方程量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)在上式中,是既不依赖于,也不依赖于的常数.Ert这样dilndEftt(25)所以i/~eEtft(26)因此,特解(23)可表示为i/,eEtEtrr(27)量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)其中,满足下列方程rE222rrrEEVEm(28)论述:从数学上讲,对于任何E值,不含时Schrödinger方程(28)都有解.但并非对于一切E值所得出的解都满足物理上的要求.rE这些要求中,有些是根据波函数的统计诠释而提出的,有的是根据具体物理情况而提出的.如束缚态边条件,周期性边条件,散射态边条件等.量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)在束缚态边条件下,只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的.所以得到222rrrEEVEm能量本征方程(不含时Schrödinger方程)E能量本征值(energyeigenvalue)rE能量本征函数(energyeigenfunction)量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)Schrödinger方程的更普遍的表示是ˆiHt(29)此时,能量本征方程为ˆHE(30)对于更复杂的体系的Schrödinger方程的具体表达式,关键在于如何写出其Hamilton量算符.是体系的Hamilton算符.当不显含时,体系的能量是守恒量.ˆHtˆH量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)i/,eEtEtrr(31)若在初始时刻()体系处于某一个能量本征态,则0t,0rrE处于定态下的粒子具有如下特征:形式如的波函数所描述的态,称为定态(stationarystate).1.2.4定态与非定态(31)量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)(b)任何(不显含的)力学量的平均值不随时间改变.t若体系的初态不是能量本征态,而是若干个能量本征态的叠加,0rrEEEC(32)可以证明不同能量本征值相应的本征态正交,EEEE(33)(a)粒子在空间的概率密度以及概率流密度显然不随时间改变.2rrE(c)任何(不显含的)力学量的测值概率分布也不随时间改变(以后证明).t量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)3*d,0rrEECr(34)在式(32)中,由初态唯一确定EC,0r不难证明i/,eEtEEEtCrr(35)满足含时Schrödinger方程i,,rrtHtt量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)在式(35)所示状态下,粒子的能量平均值为3*ˆd,,HrtHtrr*3*,ˆd,,EEEEEECCrtHtrr*,EEEEEECCE2EECE(36)这种由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态,称为非定态(nonstationarystate).为在式(35)所示状态下粒子能量取值的概率.2ECE量子力学教程1.2Schrödinger方程量子力学教程(第二版)设体系由N个粒子组成,粒子质量分别为.体系的波函数表示为.设第i个粒子受到的外势场为,粒子之间相互作用为,(1,2,3,,)imiN1(,,,)rrNtriiU1(,,)rrNV则Schrödinger方程表示为1i(,,,)rrNtt22111(,,