高中数学解三角形教学设计_张良超

“三角形面积解法举例”教学设计一、教学目标知识与技能：在不同已知条件下，掌握求三角形面积的常见解法，特别地会运用正弦定理、余弦定理和海伦公式求解实际问题。过程与方法：通过对不同已知条件下，求三角形面积过程中，用代数来刻画几何特征，渗透数形结合的思想方法；在《海伦一秦九韶》面积公式推导过程中，培养学生敏锐观察能力，发展学生的推理、判断、转化、归纳等思维能力。情感态度价值观：体会数与形的和谐统一；领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣；增强对本民族数学文化的认同感。目标解析能够运用正弦定理和余弦定理（海伦公式证明）等解三角形，解决实际度量问题。面积测量本是基本的测量问题，初中曾学习过圆的基本性质和勾股定理，注意知识的交叉综合，在教学中要让学生认识问题的差异与联系，进而寻求解决问题方法。二、重点难点教学重点：运用正弦定理和海伦公式解决三角形面积问题。教学难点：分析测量问题的实际情境，提取几何关系，建立待求量与已知量的数学表达，从而寻得方法解决问题。三、教学条件支持教学手段：为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。四、教学过程设计（一）回顾正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：②已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA（二）关于正弦定理的补充正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC【问题一】但k准确的数值到底是多少？边与其对应角的正弦准确的量化关系不清楚。具体表现在同学们运用sinakA，sinbkB，sinckC解决问题时信心不足，对比例系数k确切值有待考虑。【动画演示、学生观察、提升认识】CC1过程中，观察三角形1ABC各边的变化，与原始三角形ABC的相应边比较，哪些边变化了，是否有没发生改变的。同理，CC1过程中，观察三角形1ABC各角的变化，与原始三角形ABC的相应角比较，哪些角变化了，是否有没发生改变的。对三角形1ABC，三角形ABC都运用正弦定理，有如下结果：1112sinsinsinsin90RbccABCACBC在三角形ABC中有2sinsinsinabcRABC（其中R为三角形ABC的外接圆半径）2sinaRA，2sinbRB，2sincRC（三）三角形面积与其外接圆的联系【问题二】已知三角形三内角和其外接圆的半径，求该三角形面积？问题导入：如右图，假设你在该图形上随机撒一粒黄豆，计算该黄豆落入到阴影部分的概率。𝑃=𝑆∆𝐴𝐵𝐶𝑆原问题转化为求ABC面积。即已知三角形三内角和其外接圆的半径，求该三角形面积？由【问题一】的解决，引导学生得出：2sinaRA，2sinbRB，2sincRC1sin2SabC联立𝑆=2𝑅2sin𝐴sin𝐵sin𝐶【问题三】已知三角形三边和其外接圆的半径，求该三角形面积？由【问题二】的解决，提问学生发现该问题与问题二的差异，观察正弦定理2sinsinsinabcRABC引导学生该问题本质上是同一问题，即三角形边与对应角可以互相转化。sin2aARsin2bBRsin2cCR由【问题二】的结论𝑆=2𝑅2sin𝐴sin𝐵sin𝐶4abcSR（四）《海伦--秦九韶》公式求三角形面积【创设情境】小明随行导游来到一座棱锥形的建筑前，导游随即向游客介绍了一番，小明对数字比较敏感，记得导游有说到该建筑占地面积为93m2，小明参观中绕着外围走了一圈，该建筑底面三边小明分别走了20步，40步，50步，若记小明一步0.5米。试判断导游的说法是否正确？原问题即为【问题四】已知ABC的三边,求该三角形的面积？这时学生发现正弦定理不适用了，加强学生对正弦定理的理解，正弦定理也有其局限性。【学生可能想到的方法:作辅助线，在直角三角形中运用勾股定理】22222ADABBDACDC222222()hADcxbax*22BCADahS（供学生课后练习）由sinhbC，*1sin222BCADahSabC适当引导2sin1cos(1cos)(1cos)CCCC2222coscababC22222222(1)(1)...22222ababcaabcabcababbccabcabS令2abcp海伦公式：...()()()2222abcabccabcabSppcpbpa我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”。222222214Sababc（感兴趣学生课后验证）（五）归纳小结，反思提高2sinsinsinabcRABC（实现边角互化）111sinsinsin222SabCcaBbcA𝑆=2𝑅2sin𝐴sin𝐵sin𝐶4abcSR()()()Sppcpbpa4()()()abcRppcpbpa（六）课堂练习，学会应用在三角形ABC中，已知,,ABC对应边分别为,,abc，且3,2,bca试求该三角形的外接圆半径？（考察公式4abcSR的掌握情况）在正三角形ABC中，已知3S，试求该三角形的外接圆半径？（比较两公式对该题解法，哪个更直接？4abcSR，𝑆=2𝑅2sin𝐴sin𝐵sin𝐶）已知三角形三边，求该三角形外接圆的半径？...()()()2222abcabccabcabSppcpbpa面积公式正弦定理三角形外接圆半径4abcSR，联立两式得：4()()()abcRppcpbpa（八）布置作业，分层对待必做题：在三角形ABC中，已知coscosabAB，试判断三角形ABC的形状。在三角形ABC中，1,60,2aBc,求,bA。已知A、B是线段上两点，MN=4，MA=1，MB1,以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合于点C，构成三角形。求△ABC最大面积。选做题：已知三角形三边为a，b，c，求该三角形内切圆的半径？如右图所示三角形ABC，AD垂直BC，D点为垂足，已知三边分别为a，b，c，试证明三角形ABC的面积()()()Sppcpbpa，其中2abcp。