高中数学解题思想方法

目录内容提要第一章高中数学解题基本方法.一、配方法二、换元法.三、待定系数法四、定义法.五、数学归纳法六、参数法.七、反证法八、消去法九、分析与综合法十、特殊与一般法.十一、类比与归纳法十二、观察与实验法第二章高中数学常用的数学思想一、数形结合思想二、分类讨论思想三、函数与方程思想四、转化（化归）思想.第三章高考热点问题和解题策略一、应用问题.二、探索性问题三、选择题解答策略四、填空题解答策略附录一、高考数学试卷分析二、两套高考模拟试卷.三、参考答案.前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是能力。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中高建彪[e-mail]0760-2298253第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧，从而完成配方。有时也将其称为凑配法。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝...结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；......等等。Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{a}中，a?a+2a?a+a?a=25，则a＋a＝_______。2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.k1B.k或k1C.k∈RD.k＝或k＝13.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。【简解】1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r0即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－。Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24而得：。长方体所求对角线长为：＝＝＝5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－或者≤k≤。【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式Δ；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对△讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对△的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()。【分析】对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab。则代入所求式即得。【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2。【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)＋(x－b)（a、b为常数）的最小值为_____。A.8B.C.D.最小值不存在2.α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)+(β-1)的最小值是_____。A.－B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值4.椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或65.化简：2＋的结果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。7.若x－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。8.已知〈βα〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（mn）,且满足A[(m+n)+mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0。①解不等式f(x)0；②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)0？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。10.设s1，t1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),①将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,]。Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1