2013年高考数学总复习 8-6 抛物线课件 新人教B版

第六节抛物线重点难点重点：抛物线定义、几何性质及标准方程难点：抛物线几何性质及定义的应用知识归纳1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离的点的轨迹叫做抛物线．相等2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R准线方程x＝－p2焦点Fp2，0对称性关于x轴对称性质顶点O(0,0)离心率e＝1焦半径|MF|＝x0＋p2|MF|＝x＝p2F－p2，0p2－x0标准方程x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围y≥0，x∈Ry≤0，x∈R准线方程y＝－p2焦点F0，p2对称性关于y轴对称顶点O(0,0)离心率e＝1性质焦半径|MF|＝p2＋y0|MF|＝y＝p2F0，－p2p2－y0误区警示1．关于抛物线定义要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线.2．关于抛物线的标准方程由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于：(1)p的几何意义：p是焦点到准线的距离，p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.解题技巧1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p的几何意义是准确迅速求解的关键．2．抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．(1)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：①|AB|＝x1＋x2＋p；②y1y2＝－p2；③x1x2＝p24.(2)直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0时，常设l：x＝my＋p2以简化运算．3．韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．4．关于抛物线的最值问题(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．[例1]已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.112B．4C.92D．5抛物线的定义分析：x＝72时，y2＝2x＝2×72＝7，∴|y|＝74，故点A在抛物线弧“外部”，依据抛物线的定义，应有|PM|＝|PF|(F为抛物线的焦点)，∵P在抛物线上运动，故总有|PA|＋|PF|≥|AF|，从而当P、A、F三点共线时|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|取最小值．解析：如图，焦点F(12，0)，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－12＝72－122＋42－12＝5－12＝92，故选C.答案：C文)(2011·北京朝阳一模)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则点M的横坐标为3.答案：3(理)(2010·北京崇文)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线解析：P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．答案：A[例2](2010·北京西城区抽检)抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是()A.14B.12C．－14D．－12抛物线的标准方程分析：非标准形式的抛物线方程问题，一般要先化为标准形式，找出开口方向和“参数p”的值．解析：将抛物线方程y＝ax2化为x2＝1ay，由条件知14a＝1，∴a＝14.答案：A(2011·山西省忻州市联考)点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．解析：抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－a4，由题意得3－(－a4)＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.答案：x2＝12y[例3](2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74抛物线的几何性质分析：条件式|AF|＋|BF|＝3，涉及两条焦半径，故可由定义将其转化为到准线的距离，从而可得线段AB的中点到准线的距离．解析：如下图，设直线l：x＝－14为抛物线的准线，由抛物线定义知|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝3，则AB的中点C到y轴的距离为32－14＝54.故选C.答案：C(文)(2011·山东省实验中学、大连模拟)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线x29－y23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A．33B．23C．2D.3解析：∵抛物线的准线x＝3与双曲线的两条渐近线y＝±33x的交点A(3，3)，B(3，－3)．∴所求三角形的面积S＝12×23×3＝33，故选A.答案：A(理)(2011·新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程y2＝2px(p0)，F为抛物线焦点，则直线l垂直于x轴，|AF|＝122＝6，∴△ABP的边AB上的高h＝|AP|＝|AF|＝6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.故选C.答案：C[例4](2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．抛物线的焦点弦问题分析：涉及抛物线的焦半径，转化为到准线的距离，得到一个直角梯形，在直角梯形中，利用直线l的倾斜角为60°可构造直角三角形解之．解析：设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝t2，|MA|＝t＋32，∵|AM|＝|QN|，∴3－t＋32＝p－t2，∴p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.答案：y2＝3x(2011·济南二诊)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：由已知抛物线焦点为Fa4，0，∴AF所在直线方程为y＝2x－a4，∴A0，－a2，∴S△OAF＝12×－a2·a4＝a216＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.答案：B[例5](文)对于任意n∈N*，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2011B2011|的值是()A.20102011B.20112012C.20092010D.20092008综合应用分析：抛物线与x轴交点坐标可令y＝0求得，设An(x1,0)，Bn(x2,0)，则|AnBn|＝|x2－x1|，只要把|AnBn|表达为n的函数，可转化为数列求和问题．解析：设An(xn,0)，Bn(x′n,0)，则xn＋x′n＝2n＋1n2＋n，xnx′n＝1n2＋n，|AnBn|＝|xn－x′n|＝xn＋x′n2－4xnx′n＝2n＋1n2＋n2－4n2＋n＝1n2＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，∴当n＝2011时，结果为20112012.答案：B点评：由条件知An、Bn的横坐标x1、x2是方程(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0的两根，∴x1＝1n＋1，x2＝1n，∴|x1－x2|＝1n－1n＋1.(理)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的三点，且|AF→|、|BF→|、|DF→|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标．解析：(1)∵MN→＝2MP→，故P为MN中点．又∵PM→⊥PF→，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(－x,0)，P0，y2，(x0)，∴PM→＝－x，－y2，PF→＝1，－y2，又∵PM→⊥PF→，∴PM→·PF→＝－x＋y24＝0，∴y2＝4x(x0)是轨迹C的方程．(2)抛物线C的准线方程是x＝－1，由抛物线定义知|AF→|＝x1＋1，|BF→|＝x2＋1，|DF→|＝x3＋1∵|AF→|、|BF→|、|DF→|成等差数列，∴x1＋1＋x3＋1＝2(x2＋1)，∴x1＋x3＝2x2又y21＝4x1，y22＝4x2，y23＝4x3，故y21－y23＝(y1＋y3)(y1－y3)＝4(x1－x3)，∴kAD＝y1－y3x1－x3＝4y1＋y3，∴AD的中垂线为y＝－y1＋y34(x－3)AD的中点x1＋x32，y1＋y32在其中垂线上，∴y1＋y32＝－y1＋y34x1＋x32－3.∴x2＝x1＋x32＝1.由y22＝4x2.∴y2＝±2.∴B点坐标为(1,2)或(1，－2)．(文)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)解析：设点A的坐标为(x0，y0)，∴y20＝4x0①又F(1,0)，∴OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，∵OA→·AF→＝－4，∴x0－x20－y20＝－4，②解①②组成的方程组得x0＝1y0＝2或x0＝1y0＝－2.答案：B点评：向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．(理)(2011·吉林省质检)如下图，抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x－1)2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→·CD→的值为()A.34B．1C．2D．4解析：法一：抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)．可用特殊法：当l与x轴垂直时，|AD|＝4，|BC|＝2，|AB|＝|CD|＝1，∴AB→·CD→＝|AB→||CD→|＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|AB→|＝|AF→|－1＝xA，|CD→|＝|DF→|－1＝xD，|AB→||CD→|＝xA·xD＝p24＝1.∴AB→·CD→＝|AB→||CD→|＝1.故选B.答案：B一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线[答案]A[解析]∵M(2,2)在