2013年高考数学二轮复习 第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列课件

专题三数列及数列的简单应用第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列考点统计题型(频率)考例(难度)考点1数列的概念与表示填空(2)2012课程标准卷16(C)，2012四川卷16(B)考点2等差数列填空(4)解答(2)2012北京卷10(A)，2012广东卷11(A)，2012陕西卷17(2)(B)考点3等比数列选择(4)解答(3)2012课程标准卷5(A)，2012安徽卷4(A)，2012陕西卷17(1)(B)说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题．频率为分析2012各省市课标卷情况．命题角度：该部分的命题一般围绕三个点展开．第一个点围绕一般数列、数列的通项与前n项和的关系展开，设计求数列的项、数列的和、数列中的某些量等问题，目的是考查对数列概念的理解、基本的变换与运算的能力；第二个点是围绕等差数列展开，设计等差数列的判定、等差数列的性质、通项公式的求解、前n项和的求解等问题，目的是考查基础知识和基本运算求解能力；第三个点是围绕等比数列展开，设计等比数列的判定、等比数列的性质、通项公式的求解、前n项和的求解等，目的是考查基础知识和基本运算求解能力．无论在哪个点展开的命题，试题难度都不大．预计2013年对该部分的考查基本方向不会变化，即主要考查数列的一般问题、等差数列与等比数列中基本量的计算、通项公式的求解、前n项和的求解等．复习建议：从近五年课标全国卷的考查情况看，数列试题不论是难度还是数量(分值)和以往的传统高考以及少数课标地区的高考都有明显降低，考查的内容就是数列的基本问题(通项、求和)、等差数列和等比数列，还有一点要注意的是高考数列的难点放置于求和这个地方，因此在复习该讲内容时要坚持基础为主，强化运算能力的培养．1.an与Sn的关系在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列和等比数列(1)公式：如果数列{an}是公差为d的等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.如果数列{an}是公比为q的等比数列，则an＝a1qn－1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.(2)性质：等差数列{an}对正整数m，n，p，q，am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.等比数列{an}对正整数m，n，p，q，aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝a2p⇔m＋n＝2p.(3)求通项公式的方法及常见的递推公式：求数列通项公式的主要方法有：①观察法：观察法就是观察数列的特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的关系，从而确定数列的通项；②构造法：构造法就是根据数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解；③待定系数法：如果已知数列{an}的通项公式的结构形式，我们可以先设出通项公式，然后再由已知条件求出待定系数；④猜归法：猜归法就是由已知条件先求出数列的前几项，一般是a1，a2，a3，a4等，由此归纳猜想出an；⑤迭代法：对于某些an＝f(an－1)形式的递推关系，可将an－1＝f(an－2)，an－2＝f(an－3)，…，a2＝f(a1)依次代入，直到得出一个常数，或得到一系列常数的和或积的形式，然后利用数列求和来解决问题，在解决的过程中应特别注意代换的项数和次数，迭代法就是累加法和累积法．①等差(比)型：直接利用公式．②和项互化型：把项化和或把和化项．③分配常数型或待定系数型：如an＝pan－1＋q(p，q为常数)．④累加性：an＝an－1＋f(n)(n≥2)．⑤累乘型：an＝f(n)an－1(n≥2)．⑥倒数型：an＝pan－1qan－1＋r(n≥2，p，q，r为常数)．⑦不动点型：an＝pan－1＋sqan－1＋r(n≥2，p，q，r，s为常数)．⑧作商型：an＝f(n)an－1＋g(n)(n≥2)．⑨特征方程型：an＝pan－1＋qan－2(n≥3，p，q为常数)．(4)结论：当公差不为0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，且不含常数项；等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列；等差数列的单调性由公差d的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．►探究点一数列的概念与表示例1(1)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)，则数列{an}的通项公式是________．(2)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*，则数列{an}的通项公式是________．[思考流程](1)(分析)欲求数列通项只需找到数列的递推关系或者求出和的关系⇨(推理)升角标后相减或者利用an＋1＝Sn＋1－Sn与已知相结合得出Sn的关系式后求出Sn，再根据Sn求数列的通项⇨(结论)得出结果．(2)(分析)欲求数列{an}的通项公式，需要弄清数列的递推关系⇨(推理)分n为奇数和偶数分别得出数列的奇数项和偶数项的规律⇨(结论)按照等差数列、等比数列的通项公式得出结果．[解析](1)方法1：由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.[答案](1)an＝3n－1(2)an＝nn为奇数，12n2n为偶数方法2：由于an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，Sn＋1＝3Sn＋1，把这个关系化为Sn＋1＋12＝3Sn＋12，即得数列Sn＋12为首项是S1＋12＝32，公比是3的等比数列，故Sn＋12＝32×3n－1＝12·3n，故Sn＝12·3n－12.所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，由n＝1时a1＝1也适合这个公式，故所求的数列{an}的通项公式是an＝3n－1.(2)当n为奇数时，an＋2＝an＋2，即数列{an}的奇数项成等差数列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1；当n为偶数时，an＋2＝12an，即数列{an}的偶数项成等比数列，a2n＝a2·12n－1＝12n.因此，数列{an}的通项公式为an＝nn为奇数，12n2n为偶数.►探究点二与等差数列有关的问题例2在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176[思考流程](分析)欲求S11只要求出a1＋a11⇨(推理)据已知和等差数列通项性质可得⇨(结论)代入S11＝a1＋a112×11.[解析]由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝11×a1＋a112＝88.[答案]B[点评]等差数列{an}的基本量是首项a1与公差d，解题时只要根据已知得出方程把这两个基本量求出，即可求其通项公式以及前n项和，等差数列的求和公式有两种形式，它们是等价的，能用其中一个公式解决的问题用另一个公式也能解决，如本例中，根据已知可得a1＋5d＝8，即a1＝8－5d，则S11＝11a1＋11×102d＝11×(8－5d)＋55d＝88.变式题(1)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为()A．14B．15C．16D．17(2)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则S3－S2S5－S3的值为________．[解析](1)由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120及等差数列的性质知，a8＝24，设公差为d，则a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16.(2)设公差为d，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，即a21＋4a1d＋4d2＝a21＋3a1d，解得a1＝－4d(舍去d＝0)．故S3－S2S5－S3＝a3a4＋a5＝－4d＋2d－4d＋3d－4d＋4d＝2.[答案](1)C(2)2►探究点三与等比数列有关的问题例3[2012·安徽卷]公比为32的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16＝()A．4B．5C．6D．7[思考流程](分析)欲求log2a16只要求出a16⇨(推理)a3·a11＝16化为基本量的等式，列方程组解得⇨(结论)根据通项公式计算即可．[解析](解法一)由等比中项的性质得a3a11＝a27＝16，又数列an各项为正，所以a7＝4.所以a16＝a7×q9＝32.所以log2a16＝5.(解法二)设等比数列的公比为q，由题意，an0，则a3·a11＝a27＝a16q92＝126a216＝24，所以a216＝210，解得a16＝25.故log2a16＝5.[答案]B变式题(1)数列{an}中，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)，且a10＝8，则a4＝()A．－8081B.181C.127D．－2627(2)在公比为整数的等比数列{an}中，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则该数列的前8项之和等于()A．510B．540C．570D．630[解析](1)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即数列{an＋1}是公比为3的等比数列，所以a10＋1＝(a4＋1)×310－4，所以a4＋1＝181，所以a4＝－8081.(2)设公比为q，a1＋a4a2＋a3＝1＋q3q＋q2＝1812，即1－q＋q2q＝32，即2q2－5q＋2＝0，由于q为整数，故得q＝2，代入a1＋a4＝18，解得a1＝2，故S8＝21－281－2＝510.[答案](1)A(2)A►探究点四等差数列与等比数列的综合例4[2012·湖北卷]已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．[思考流程](1)(已知){an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝－3，a1·a2·a3＝8⇨(目标)求等差数列的通项公式⇨(方法)列出方程求解首项和公差，根据通项公式得通项；(2)(已知)a2，a3，a1成等比数列⇨(目标)数列的前n项和⇨确定数列{|an|}通项公式，按照项的符号分段求解．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d＝8，解得a1＝2，d＝－3，或a1＝－4，d＝3.所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝－3n＋7，n＝1，2，3n－7，n≥3.记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋n－2[2＋3n－7]2＝32n2－112n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝4，n＝1，32n2－112n＋10，n＞1.[点评]在求一个数列的绝对值的前n项和时，一般思路是根据其项的符号分段求解，但也可从原数列的前n项出发，通过适当的变换从整体上求解．•规律根据数列