1.1.2导数的概念-(3)

第一章§1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念宿松二中张宏才1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一函数的平均变化率问题导学新知探究点点落实假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案答自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度.ΔyΔx＝y2－y1x2－x1答观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.答案思考3观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1表示什么？ΔyΔx函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率答案(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)实质：的增量与增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的.ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1函数值自变量斜率知识点二瞬时速度答案思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.答Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝10＋5Δt.思考2当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？答当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.ΔsΔt答案瞬时速度(1)物体在的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt.如果Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，ΔsΔt的_____是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0st0＋Δt－st0Δt.某一时刻极限知识点三导数的概念答案返回函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作___________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.00()|xxfxy＝或类型一求函数的平均变化率解析答案题型探究重点难点个个击破例1已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；ΔyΔx(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；ΔyΔx(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.反思与感悟跟踪训练1(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A.1B.－1C.2D.－2解析答案解析由图知，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－32＝－1.B解割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.(2)过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值.解析答案ΔyΔx∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.ΔyΔx类型二求平均速度与瞬时速度解析答案s＝3t2＋2，t≥3，29＋3t－32，0≤t3.例2若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；解求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度.∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32Δt＝3Δt－18，∴limΔt→0ΔsΔt＝－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的初速度为－18m/s.解析答案(3)物体在t＝1时的瞬时速度.解物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率.∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt＝29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32Δt＝3Δt－12.∴limΔt→0ΔsΔt＝－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.解析答案反思与感悟跟踪训练2一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解析答案解质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均变化率ΔsΔt＝s2＋Δt－s2Δt＝a2＋Δt2－4aΔt＝4a＋aΔt，∴limΔx→0ΔsΔt＝4a＝8，即a＝2.类型三求函数在某一点处的导数例3(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝a，则f′(x0)＝________.解析∵limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝limΔx→0[fx0－3Δx－fx0－3Δx·(－3)]∴f′(x0)＝－13a.＝－3f′(x0)＝a，－13a.解析答案(2)利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数.解析答案反思与感悟x解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.跟踪训练3已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.解析答案返回又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.解∵f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→03x0＋Δx2－3x20Δx＝limΔx→0(6x0＋3Δx)＝6x0，1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.3解析答案达标检测1234B解析v＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.5A.9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B.9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C.9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D.9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率解析答案2.物体自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9.8m/s2，若v＝limΔx→0s1＋Δt－s1Δt＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()解析由导数的定义可得.C123453.已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于()A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)2ΔyΔx解析∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.ΔyΔxC12345解析答案4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.解析由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].fx2－fx1x2－x1，fx3－fx2x3－x2，fx4－fx3x4－x3，[x3，x4]12345解析答案5.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.1x解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.－1212345解析答案利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；返回规律与方法(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为一差，二比，三极限.特别提醒①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；ΔyΔx