第1节不定积分的概念与性质

第五章不定积分一、原函数与不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的运算性质第一节不定积分的概念及性质四、小结例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念1、原函数的概念问题：(1)原函数存在的条件是什么？(3)原函数若不唯一，它们之间有什么联系？(2)原函数是否唯一？（1）原函数存在的条件（原函数存在定理）如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.（2）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（3）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C任意常数积分号被积函数2、不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.根据不定积分和原函数的定义，下列说法等价：1、Fx是fx的一个原函数2、Fxfx3、Fx+C是fx的全体原函数4、fxdxFxC求一个函数()fx的不定积分fxdx，就是求被积函数fx的一个原函数，再加上积分常数C例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx结论：在允许相差一个常数的条件下，积分运算与微分运算是互逆的（1）)d)((xxf)d)(d(xxf)(xfxxfd)(3、不定积分的基本性质：(2)xxFd)()(dxFCxF)(CxF)(4、不定积分的几何意义()d()fxxFxC，其中()()Fxfxxyo)(xFx0不定积分表示的是一族积分曲线，在横坐标相同的点处切线是平行的实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分公式kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdxdxex)4(;Cexdxax)5(;lnCaaxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxdxx211)12(;arctanCxdxx211)13(;arcsinCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCx例3求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11例4求下列不定积分：（1）；xxd12(2)xxxd；解（１）xxd12（２）21121xCCx2dxx35222dd5xxxxxxCdxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的运算性质dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k说明：不定积分没有乘积和商的运算法则.例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求不定积分:xxxxd11解：xxxxxxxxxd11d11xxxxxxxxd1d1ddCxxxx2122522152xxxxxxxdd1dd2123例7求不定积分xxxd1122解：Cxxxxxarctan21d2d22212d1xxxxxxd1122221d1xx例8求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx例9求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例10求下列不定积分：(1)xxdtan2；(2)xxd2sin2解(1)xxdtan2xxd)1(sec2=Cxxxxxtanddsec221cossindd22xxxx(2)11sin.22xxC例11求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.这种直接利用公式和法则进行积分，或适当地利用代数恒等变形、三角恒等变形再积分的方法——直接积分法例12设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy基本积分表不定积分的基本性质和运算性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结