高三寒假复习讲义第10章 第5讲 圆锥曲线的综合应用

高三寒假复习讲义第5讲圆锥曲线的综合应用考点一轨迹与轨迹方程1“曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2求动点的轨迹方程的步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x、y的方程，并化简；(5)证明——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．注意点求轨迹与轨迹方程时的注意事项(1)区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．(2)求出动点的轨迹方程后，要检验一些特殊点，通常是轨迹与已知曲线的交点，这些点往往是满足轨迹方程的，但不是所求轨迹上的点.1．思维辨析(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．设点M(0，－5)，N(0,5)，△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为()A.x225＋y2169＝1(x≠0)B.x2144＋y2169＝1(x≠0)C.x2169＋y225＝1(y≠0)D.x225＋y2169＝1(y≠0)答案B解析|PM|＋|PN|＝36－10＝26|MN|，但P不与M，N共线，所以P的轨迹是以M，N为焦点的且去掉长轴端点的椭圆，又c＝5，a＝13，所以b2＝169－25＝144.故选B.3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．y＝4x2－12D．y＝4x2＋12答案C解析设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，所以y＝4x2－12.[考法综述]求曲线的轨迹方程，并对所求的曲线进一步拓展探求其他相关问题，综合性很强，难度较大．命题法求曲线的轨迹或轨迹方程典例已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．[解]如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1x≤－32.【解题法】轨迹方程的求法(1)定义法求轨迹方程的步骤①判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义．②设标准方程，求方程中的基本量．③求轨迹方程．(2)相关点法求轨迹方程的步骤资*源%库①动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线上运动．②寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)．③将x0，y0代入已知曲线方程．④整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程．(3)参数法求轨迹方程的步骤①选取参数k，用k表示动点M的坐标．②得动点M的轨迹的参数方程x＝fk，y＝gk.③消参数k，得M的轨迹方程．④由k的范围确定x，y的范围，确保完备性与纯粹性．1．一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解(1)设点D(t,0)，(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD→＝2DN→，且|DN→|＝|ON→|＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且x0－t2＋y20＝1，x20＋y20＝1.即t－x＝2x0－2t，y＝－2y0，且t(t－2x0)＝0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝x4，y0＝－y2，代入x20＋y20＝1，可得x216＋y24＝1，即所求的曲线C的方程为x216＋y24＝1.(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝12×4×4＝8.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋mk≠±12，由y＝kx＋m，x2＋4y2＝16，消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①又由y＝kx＋m，x－2y＝0，可得P2m1－2k，m1－2k；同理可得Q－2m1＋2k，m1＋2k.由原点O到直线PQ的距离为d＝|m|1＋k2和|PQ|＝1＋k2|xP－xQ|，可得S△OPQ＝12|PQ|·d＝12|m||xP－xQ|＝12·|m|·2m1－2k＋2m1＋2k＝2m21－4k2.②将①代入②得，S△OPQ＝2m21－4k2＝8|4k2＋1||4k2－1|.当k214时，S△OPQ＝84k2＋14k2－1＝81＋24k2－18；当0≤k2＜14时，S△OPQ＝84k2＋11－4k2＝8－1＋21－4k2.因0≤k214，则0＜1－4k2≤1，21－4k2≥2，所以S△OPQ＝8－1＋21－4k2≥8，当且仅当k＝0时取等号．所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.2．如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由|F1F2||DF1|＝22得|DF1|＝|F1F2|22＝22c.从而S△DF1F2＝12|DF1||F1F2|＝22c2＝22，故c＝1.从而|DF1|＝22，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝92，因此|DF2|＝322.所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1P1→＝(x1＋1，y1)，F2P2→＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y21＝0.由椭圆方程得1－x212＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0，解得x1＝－43或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．当x1＝－43时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝22|P1P2|＝2|x1|＝423.3．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即x－12＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x0.(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(ⅰ)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.(ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(a)若Δ0，x00，由②③解得k－1或k12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(b)若Δ＝0，x00，或Δ0，x0≥0，由②③解得k∈－1，12或－12≤k0.即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(c)若Δ0，x00，由②③解得－1k－12或0k12.即当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综合(ⅰ)，(ⅱ)可知，当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解(1)由题意知c＝5，e＝ca＝53，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，故椭圆C的标准方程为x29＋y24＝1.(2)设两切线为l1，l2，①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2)．②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，且k≠0，则l2的斜率为－1k，l1的方程为y－y0＝k(x－x0