12.2单自由度体系的运动方程

AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.2单自由度体系的运动方程描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。根据达朗伯原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移方程（柔度方程），类似于力法。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®1、单自由度体系的振动模型12.2.1按平衡条件建立运动方程刚度法ABABEIEIPF(t)F(t)PF(t)Py(t)y(t)F(t)F(t)F(t)F(t)F(t)ICSICC2、取质量m为隔离体，其上有四种力作用AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®ABABEIEIPF(t)F(t)PF(t)Py(t)y(t)F(t)F(t)F(t)F(t)F(t)ICSICC（1）动力荷载：tFP（2）弹性恢复力：tyktF11S(12-1)（3）阻尼力：tyctFC(12-2)（4）惯性力：tymtFI(12-1)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、建立运动方程根据达朗伯原理，由∑Fx＝0，得ABABEIEIPF(t)F(t)PF(t)Py(t)y(t)F(t)F(t)F(t)F(t)F(t)ICSICC将式(12-1)～式(12-3)代入，即得0PSCItFtFtFtF(12-4)tFykycymP11(12-5)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.2.2按位移协调条件建立运动方程――柔度法ABABEIEIPF(t)F(t)PF(t)Py(t)y(t)F(t)F(t)F(t)F(t)F(t)ICSICCABABEIEIPF(t)F(t)PF(t)Py(t)y(t)F(t)F(t)F(t)F(t)F(t)ICSICC质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载FP(t)、惯性力FI和阻尼力FC共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得11I11C11PyFFFt(12-6)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®11I11C11PyFFFt(12-6)δ11——柔度系数。表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。将式(12-2)阻尼力和式(12-3)惯性力代入上式，即得tFyycymP111(12-7)因为单自由度体系中1/δ11＝k11（k11和δ11互为倒数)，故有tFykycymP11AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®tFP【注意】当不是直接作用在质量及其运动方向上时，则式(12-6)中右边第三项δ11FP(t)应改为δ1PFP(t)。δ1P表示由于作用在质量运动方向所产生的位移。相应地，式(12-7)、式(12-5)中右边项FP(t)应改为tFtFEP11P1可记为称等效动力荷载。同时，它与由于作用而在质点处添加的附加约束上所产生的支座反力大小相等。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-1】试用刚度法建立图12-12a所示刚架受动力荷载FP(t)作用的运动方程。解：(1)确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。F(t)PCmDABl12lDCPF(t)FS1S2FFCDCAB11ykIFEIEI(2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为，向右为正。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)绘隔离体受力图：取出隔离体，如图12-12b所示。图中给出了惯性力、阻尼力和弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。F(t)PCmDABl12lDCPF(t)FS1S2FFCDCAB11ykIFEIEI(4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得02S1SCIPFFFFtFAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®F(t)PCmDABl12lDCPF(t)FS1S2FFCDCAB11ykIFEIEI式中，，ymFIycFC311S12lEIF322S12lEIF将式(b)代入式(a)，经整理，可得运动方程02S1SCIPFFFFtF(a)(b)tFkyycymP(b)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®tFkyycymP32311212lEIlEIk式中，刚度系数k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（∆＝1）时，楼层中各柱剪力之和，如图12-12c所示）。F(t)PCmDABl12lDCPF(t)FS1S2FFCDCAB11ykIFEIEIAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-2】试用刚度法建立图12-13a所示静定梁的运动方程。解：本例为单自由度体系。取a为坐标。在某一时刻t，体系位移如图12-13b所示。受力如图12-13c所示lmFamF22I11IbkFBBAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®解：由∑MA＝0，得022221bklmamB整理后，得运动方程022221bklmamBAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-3】试用柔度法建立图12-14a所示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。CEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmy解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位移y为坐标。运动方程为111PymyMtAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®CEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmy绘出、图如图所示。由图乘法得1MPMEIl32311111PymyMtEIl62P1得运动方程tMlylEIym41233CEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmy1M图PM图AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®tMlylEIym41233也可写作tFykymE11tFE为等效动力荷载tMltMtF4111P1ECEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmyCEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmytMtF11P1EAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.2.3刚度法的三种形式1、方法一：发生位移所需施加之力等于全部外力（包括FI和FC）。由图12-15a、b，可知tFymykP11上式可改写为tFykymP11AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2、方法二：取质点为隔离体，列动力平衡方程（已如前述）tFykymP113、方法三：添加附加约束。其概念与静力计算中位移法相似，仅在外力中须引入惯性力，同时所有反力均假设为正。考虑到在真正的动平衡位置上，体系必然恢复自然的运动状态，因而附加约束反力R1应等于零。可得0F1I1111RRykR亦即0P11tFykymAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.2.4建立运动方程小结1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。4)刚度方程几种写法的选择：①当结构给质体的反力亦即弹性恢复力容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。SF②当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。