高中《三角函数》全部教案

三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）3还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30390330是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zkk个周角的和390=30+360)1(k330=30360)1(k30=30+0×360)0(k1470=30+4×360)4(k1770=305×360)5(k3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合ZkkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4．例一（P5略）五、小结：1角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02．角的弧度数的绝对值rl（l为弧长，r为半径）orC2rad1radrl=2roAAB3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad∴180=rad∴1=radrad01745.0180'185730.571801rad例一把'3067化成弧度解：2167'3067∴radrad832167180'3067例二把rad53化成度解：1081805353rad注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin表示rad角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x轴上的角的集合ZkkS,|12终边在y轴上的角的集合ZkkS,2|23终边在坐标轴上的角的集合ZkkS,2|3第三教时教材：弧度制（续）目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。口答《教学与测试》P101-102练习题1—5并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二二、由公式：rlrl比相应的公式180rnl简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一（课本P10例三）利用弧度制证明扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：221R弧长为l的扇形圆心角为radRl∴lRRRlS21212比较这与扇形面积公式3602RnS扇要简单例二《教学与测试》P101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴34⑵165解：cmr10⑴：)(3401034cmrl⑵：radrad1211)(165180165∴)(655101211cml例三如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有22162lrrllr∴扇形的面积2)(221cmrlS例四计算4sin5.1tan解：∵454∴2245sin4sinoRSloAB'578595.855.130.571.5rad∴12.14'5785tan5.1tan例五将下列各角化成0到2的角加上)(2Zkk的形式⑴319⑵315解：633192436045315例六求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m）图中长度单位为：m解：∵360∴)(471514.3453mRl三、练习：P116、7《教学与测试》P102练习6四、作业：课本P11-12练习8、9、10P12-13习题4.25—14《教学与测试》P1027、8及思考题第四教时教材：任意角的三角函数（定义）目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：一、提出课题：讲解定义：1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222yxyxr（图示见P13略）2．比值ry叫做的正弦记作：rysin比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcotR=4560比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc注意突出几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0r，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）⑤定义域：tancossinyyy)(2ZkkRRcscseccotyyy)()(2)(ZkkZkkZkk二、例一已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值解：13)3(2,3,222ryx∴sin=13133cos=13132tan=23cot=32sec=213csc=313例二求下列各角的六个三角函数值⑴0⑵⑶23⑷2解：⑴⑵⑶的解答见P16-17⑷当=2时ryx,0xoyP(2,-3)∴sin2=1cos2=0tan2不存在cot2=0sec2不存在csc2=1例三《教学与测试》P103例一求函数xxxxytantancoscos的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,0,00,0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0例四《教学与测试》P103例二⑴已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值解：⑴由定义：5rsin=53cos=54∴2sin+cos=52⑵若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52三、小结：定义及有关注意内容四、作业：课本P19练习1P20习题4.33《教学与测试》P1044、5、6、7第五教时教材：三角函数线目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2．介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆3．作图：（课本P14图4-12）此处略……………………………设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S4．简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段OM，OP长度分别为yx,当OM=x时若0xOM看作与x轴同向OM具有正值x若0xOM看作与x轴反向OM具有负值x5．MPyyry1sinOMxxrx1cos有向线段MP,OM,AT,BS分别称作ATOAATOMMPxytan角的正弦线,余弦线,正切线,余切线BSOBBSMPOMyxcot四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：132sin与54sin2tan32与tan543cot32与cot54解：如图可知：32sin54sintan32tan54cot32cot54例二利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角ABoT2T1S2S1P2P1M2M1S11sin≥212tan33解：1230≤≤1503090或210270例三求证：若2021时，则sin1sin2证明：分别作1,2的正弦线x的终边不在x轴上sin1=M1P1sin2=M2P2∵2021∴M1P1M2P2即sin1sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本P15练习P20习题4.32补充：解不等式：()2,0[x)1sinx≥232tanx13sin2x≤21第七教时教材：三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题然后师生共同操作：1．第一象限：0,0.yx∴sin