第3.4讲 位姿描述和齐次变换

第三章位姿描述及齐次变换1、自由度及辅助知识3、位姿描述4、坐标变换5、齐次变换11、机器人的自由度2刚体的自由度xByBzBOB机器人的自由度3通常来讲，有几个电机（主动件）就有几个自由度机器人的自由度4通常来讲，有几个电机（主动件）就有几个自由度问题:对于一个机械臂来讲，几个自由度可以完成机械臂末端的任意姿态调整？一般来说机器人需要完成几个自由度的运动就只需要几个驱动电机，比如说直线运动就只需要一个驱动，平面运动只需要两个驱动，而通常的空间机器人是三个方向的空间运动加上三个方向的转动所以一般是六轴机器人5问题:有没有大于6个自由度的机器手臂？有。冗余自由度增加了机器人的运动复杂度，但同时也使得它的运动轨迹能够更加灵活，实现更好的避障性能或完成更复杂的操作。63.2机器人的坐标系7世界坐标系基座坐标系手腕坐标系工具坐标系操作坐标系目标坐标系机器人的位置和姿态末端的位置和姿态8xByBzBOB9问题:怎么描述一个坐标系{B}与一个参考坐标系{A}的位姿关系？1.｛B｝的原点在｛A｝中的位置2.｛B｝的三个坐标轴与｛A｝三个坐标轴旋转关系10姿态的描述方法——旋转矩阵AxAyAzBxx11姿态的描述方法——旋转矩阵AxAyAzBxx12姿态的描述方法——ZYX欧拉角辅助知识：数学基础机械手作为执行机构是用来保证复杂空间运动的综合刚体，而且它自身也往往需要在机械加工或装配等过程中作为统一体进行运动。因此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又方便的数学方法---矩阵法数学描述是以四阶方阵变换三维空间点的齐次坐标为基础的，能够将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来补充：向量的点积和叉积矩阵的乘法zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(131.方向角与方向余弦=AOB(0)为向量，的夹角，记作=方向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦OAOABBabBOAOab),(bacosrx222zyxxoyzxoyzxyzxrrrr)cos,cos,(cos2.向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：uABBuABBuABB)cos(PrABABju1415姿态的描述方法——旋转矩阵222222222coscoscos1coscoscos1coscoscos1coscoscoscoscoscos0coscoscoscoscoscos0coscoscoscoscoscos0xxxyyyzzzxyxyxyxzxzxzzyzyzy16姿态的描述方法——旋转矩阵AxAyAzBxx222coscoscos1xxx向量补充212212212,232221232221332211,coszzyyxxdbbbaaababababaBA已知：a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)17空间任意两直线的公法线长度公式给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有方向矢量n，则：)cos()(nmnmacrnmqpnma18课堂练习将坐标轴沿z轴旋转θ角，对比用坐标轴夹角及欧拉旋转两种方法给出的旋转矩阵是否一样。192.位姿描述2.1、位置描述2.2、方位（姿态）描述2.3机器人坐标系-位姿描述202.1位置描述(position)---点在坐标系的位置一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2．1。212.2方位描述(orientation)物体的方位可由某个固接于此物体的坐标系描述为了规定空间某刚体B的方位，设置一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量xB、yB、zB相对于参考坐标系{A}方向余弦组成的3×3矩阵来表示刚体B相对于坐标系{A}的方位。称为姿态矩阵/旋转矩阵。式中，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。共有9个元素，但只有3个是独立的。由于的三个列矢量AxB、AyB、和AzB都是单位矢量，且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件(正交条件)。坐标系轴上的投影在坐标系的单位基矢量示了中的三个列矢量分别表姿态矩阵AkjiBRBBBAB,,坐标系轴上的投影在坐标系的单位基矢量示了中的三个行矢量分别表姿态矩阵BkjiARAAAAB,,222.3机器人坐标系-位姿描述23机器人坐标系基坐标系工件(目)标系工具系工作站系24位姿描述要完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)，通常将物体B与某一坐标系{B}相固接。{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心等。相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量B和旋转矩阵描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系{B}来描述，即有(2.9)Y(orientation)x(normal)z(approach)aonRAB25手抓坐标系Y(orientation)x(normal)z(approach)aonRAB263、坐标变换3.1平移坐标变换3.2旋转矩阵3.3旋转变换前面讨论的是在一个坐标系中位姿的描述，在大量的机器人问题中，涉及到用不同的坐标系来描述同一个刚体的位置及姿态问题，这就涉及到从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系，这种变换关系包括：平移变换和旋转变换273.1平移坐标变换(2.10)前面讨论的是在一个坐标系中位姿的描述，在大量的机器人问题中，涉及到用不同的坐标系来描述同一个刚体的位置及姿态问题，这就涉及到从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系，这种变换关系包括：平移变换和旋转变换283.2旋转矩阵设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。xyzwvuPo(O')图2-3①初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则P点在ΣO´uvw中可表示为：wwuvuuuvwkPjPiPP、、为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，则P点在Σoxyz中可表示为：uivjwkzzyyxxxyziPiPiPPuvwPxyzP29②当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置yzxo(O')uvwPPwPvPu图2-4已知：P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成立，由于ΣO´uvw回转，则：wwuvuuuvwkPjPiPP)(PwwvvuuxxuvwxkPjPiPiiP)(PwwvvuuyyuvwykPjPiPjjP)(PwwvvuuzzuvwzkPjPiPkkP用矩阵表示为:wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPy（2-7）30uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:Ry则旋转矩阵为：定义反过来：xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RR因此是正交矩阵，R的行列式，由于为det的伴随矩阵，为RRRR3132姿态的描述方法——旋转矩阵旋转矩阵1112132122233132331coscoscoscoscoscoscoscoscos101xyzAAAABBBBxyzxyzATAATAATABBBBBBATAATAATABBBBBBAATABBBrrrRxyzrrrrrrxxyyzzxyyzzxRRR旋转矩阵的几何意义参考坐标系的姿态矩阵坐标系对可以作为固连于刚体的ABRAB)1PPAPPBRAB的坐标中的同一个空间点成坐标系变换点的坐标中的。它使坐标系可以作为坐标变换矩阵AB)2系中的投影之间的关系矢量在同一坐标示具有转动关系的两个可以作为算子。用来表RAB)333三个基本旋转矩阵),(xR即动坐标系求的旋转矩阵，也就是求出坐标系中各轴单位矢量在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：角，轴转动绕，XOvwOvwO'wvkji,,Oxyz),(xR100010001R34由图2-5可知，在y轴上的投影为，在z轴上的投影为,在y轴上的投影为，在z轴上的投影为，所以有：vjcosyjsinzksinyjwkcoszkvjwkwzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwU'V'W'O'图2-5cossin0sincos0001uxii方向余弦阵35同理：cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（comsin0sincos0001)R(x,三个基本旋转矩阵:xyzouvwU'W'O'xyzouvwU'W'O'v'36绕坐标轴转动的旋转矩阵式中，s表示sin，c表示cos。以后将一律采用此约定。37旋转矩阵---举例[例1]已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW＝(4，3，2)T和bUVW＝(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。[解]uvwZxyzuvwZxyzbRbaRa0060,60,38旋转矩阵---公式推导uvwZxyzuvwZxyzbRbaRa0060,60,xyzTZuvwbRb060,uvwZTZxyzTZbRRbR00060,60,60,00060,60,60,uvwZTZxyzTZaRRaR060,xyzTZuvwaRa39旋转矩阵---举例[例2]已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ＝(4，3，2)T和bXYZ＝(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。[解]xyzTZuvwxyzTZuvwbRbaRa0060,60,40合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求点在固定参考坐标系下的位置。TuvwPo321'OxyzuvwPo'Oxyz解1：用画图的简单方法41解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）2313210101-00001'P21323110000101-0''P312213001-010100'''P（2-14）（2-15）（2-16）42上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：wvuzyx