2.3.1直线与平面垂直的判定(高中数学人教版必修二)

2.3.1直线与平面垂直的判定生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.ABCD思考3(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.BDCABD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直lmnPlP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．l平面的垂线直线l的垂面垂足直线与平面垂直对定义的认识①“任何”表示所有.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③等价于对任意的直线，都有m利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.a.malP直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblabAbal作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直判定定理简记为：线线垂直线面垂直“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD底面四边形对角线相互垂直．ABCD随堂练习线面垂直判定定理的应用例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点，∴AE⊥BC，DE⊥BC.又∵AE与DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要证明直线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可．例2:如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC,PB=PD.求证：PO⊥平面ABCDCABDOPABCDPOOBDAC平面又\QBDPOBDOPDPB的中点是点又\Q,ACPOACOPCPA的中点是点证明\Q,PABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,,,解：（1）且又ABACABACAPAACPAABPABCPABC\\PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆\\QQ,1)2(证明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.图6例1如图，已知，求证aba,//.bbamn根据直线与平面垂直的定义知.,nama又因为ab//所以.,nbmb又nmnm,,,是两条相交直线，所以.b证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，a典型例题即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面AVABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，练习：提示：找AC中点D,连接VD,BD02.,,,,,.1).,90,__.2).,_____.3).,,,_____.ABCPPOOPAPBPCPAPBPCCOABPAPBPCOABCPAPBPBPCPCPAOABC过所在平面外一点作垂足为连接若则是边的点若则是的心若则是的心中外垂4－1.P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．(1)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的_____；(3)若P到△ABC三边的距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；(4)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的_____．外心垂心内心垂心解析：(1)如图23，∵PO⊥平面ABC，∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．图23图24(2)如图24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．故填垂心．(3)如图25，图25P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心，故填内心．∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△ABC的垂心．故填垂心．(4)如图26，图26直线与平面垂直的性质定理的简单应用例1：如图，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.PABC思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直．证明：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用．1.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′∵正方体ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD证明：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′⊂面D′DB∴AC⊥BD′(1)自一点P向平面α引垂线，垂足P/叫做点P在平面α内的正射影(射影)(2)点P与垂足P/间的线段叫点P到平面α的垂线段(3)如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F/，则F/叫做图形F在这个平面内的射影几个概念aAPoα一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条斜线与斜线段从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影AB斜线在平面内的射影平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).简称线面角为垂足上任一点，为为斜足，为一斜线，BABlAOl,斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角1、直线和平面垂直＝直线和平面所成的角是直角直线和平面平行或在平面内＝直线和平面所成的角是0°2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：___________斜线与平面所成的角θ的取值范围是：______________2020OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o典型例题例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角CDC1D1B1A1BAO111111111111111111111111111111111111,,,.,,.22,,21,30.2\\\\\BCBCOAOABBCABBBABBCCBABBCBCBCBCABCDAOABABCDBAOABABCDaRtABOABaBOaBOABBAOABAB解：连接交于点连接，平面又平面为斜线在平面内的射影，为与平面所成的角.设正方体的棱长为在中，直线和平面130.CD所成的角为例2：如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．图4解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中各个面为正方形，设其棱长为a.⇒A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．⇒A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.A1B1⊥B1C1A1B1⊥B1B⇒A1B1⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1⇒A1B1⊥BC1BC1⊥B1C⇒BC1⊥平面A1B1CD在Rt△A1BO中，A1B＝2a，OB＝22a⇒sin∠BA1O＝OBA1B＝12∠BA1O为锐角⇒∠BA1O＝30°求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．图5A.223B.23C.24D.132－1.如图5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A2－2.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D解析：如图22，连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．AB＝BC＝2⇒A1C1＝22，又AA1＝1，∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.图221．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结2．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面4．直线与平面所成的角.]90,0[范围：(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD，则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有______个B课堂练习5四.知识小结：直线与平面垂直的判定定义法间接法直接法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面判定定理如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。（1）（2）数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。