专题-勾股定理培优版(综合)

武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换（一）动点证明题1.如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若P为边BC上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB2-AP2；（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是ABPCBCPABCADPE武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流EADBCCNM3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.EADBCCNMEADBCCNM武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流4.问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②DABCDABC武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流图2图1A'PPAABCBC二.勾股定理与旋转5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接AA',当点A落在CA'上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）6.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.BACP图3CABP武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流变式1：∆ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，点P是∆ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．EDDPPPCCCBBBAAA图1图2图3CBAP武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流CABEFMN图①7.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：222BNAMMN；（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式222BNAMMN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．变式1：如图，在RtABC中,90,,45BACACABDAE且3BD,4CE,则DE=变式2：如图，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BEDCDE；④222BEDCDE其中正确的是（）A．②④；B．①④；C．②③；D．①③CABEFMN图②BCDEFA武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流（三）其它应用7.在ABC△中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC△（即ABC△三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC△的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC△的面积直接填写在横线上__________________；思维拓展：（2）我们把上述求ABC△面积的方法叫做构图法．．．．若ABC△三边的长分别为2a、13a、17a（0a），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC△，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）若ABC△中有两边的长分别为2a、10a（0a），且ABC△的面积为22a，试运用构图．．法．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC△(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．武汉未来星教育（光谷）电话：[phone]QQ:605187105欢迎资料共享交流8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．