高考数学艺体生百日突围专题(17)概率(基础篇,含答案)

《2016艺体生文化课-百日突围系列》古典概型【背一背基础知识】1．基本事件的特点：（1）同一试验中任何两个基本事件都是互斥．．的；（2）任何事件都可以表示成几个基本事件的和．．．．．．．．．2．什么叫古典概型？我们将具有（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．如何计算古典概型的概率？如果试验的基本事件的总数为n，随机事件A所包含的基本事件的个数为m，则mn就是事件A出现的可能性的大小，称为事件A的概率，记作为()pA，即()mpAn．【讲一讲基本技能】1．必备技能：求古典概型概率的步骤是：（1）求出总的基本事件数；（2）求出事件A所包含的基本事件数，然后用公式()ApA所包含的基本事件数总的事件个数计算．在求基本事件的个数时，要做到不重不漏，可以用列举法把基本事件一一牧举出来，也可用排列组合的思想来求．2．典型例题例1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．1【答案】B【考点定位】古典概型．【名师点晴】本题主要考查的是古典概型，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“恰有”，否则很容易出现错误．列举基本事件一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即包含的基本事件的个数基本事件的总数．例2．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)【分析】本题基本事件是取两个球，从九个球中任取两个球的总方法数为2936C，两个球的编号之积为偶数，那么两个球可能有两种类型，一类是两个都是偶数，即从4个偶数号球中取两个，取法为246C，一类为一球为奇数，一球为偶数，取法为5420，因此两球编号之积为偶数的取法法为62026．【练一练趁热打铁】1．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）1.18A1.9B1.6C1.12D【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）这四种，因此所求概率为41369，选B．2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．81B．83C．85D．87【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有12428CA种不同的结果；（2）周六、日各2人，有246C种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168，选D．几何概型【背一背基础知识】1．什么叫几何概型？事件A理解为区域的某一子区域A，事件A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与形状和位置无关，满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式：()APA，其中表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量．【讲一讲基本技能】1．必备技能：解决几何概型问题的关键是对区域和子区域A选用什么几何度量？是长度？还是面积？体积？这主要根据具体问题来解决．2．典型例题例1．在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“121-1log2x（）1”发生的概率为()（A）34（B）23（C）13（D）14【答案】A【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x范围.本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.例2．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不．在家看书的概率为【分析】作出半径分别为111,,24的同心圆，整个区域就是单位圆，其面积为，而小波不在家看书，则点落在圆A或圆环C内．CBAO【练一练趁热打铁】1．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．【答案】0.18【解析】由随机数的概念及几何概型得，180=11000S阴影，所以估计阴影部分的面积为0.18．2．设复数(1)zxyi(,)xyR，若||1z，则yx的概率（）A．3142B．112C．1142D．112【答案】C【考点定位】1.复数的模长；2.几何概型.【名师点睛】1.本题考查复数的模长和几何概型，利用zabi22||zab把此题转化成几何概型，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.2.求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.3.本题属于题，注意运算的准确性.（一）选择题（12*5=60分）1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.【考点定位】古典概型【名师点睛】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.2.随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P，点数之和大于5的概率为2P，点数之和为偶数的概率为3P，则（）A．321PPPB．312PPPC．231PPPD．213PPP【答案】C【解析】依题意，36101P，3626361012P，36183P，所以231PPP．选C．3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B4．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数1,0()11,02xxfxxx的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）xyOBCDAFA．16B．14C．38D．12【答案】B【考点定位】几何概型．【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．5．在10瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这10瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为（）．（结果用最简分数表示）A．2445B．715C．115D．1415【答案】A【解析】从10瓶中任取2瓶的取法有21045C种，10瓶中有3瓶过期，7瓶不过期的，则至少取到1瓶过期的取法有一瓶过期一瓶不过期，方法数为3721，或者两瓶都过期，取法数为233C，这样至少一瓶过期的取法有21324种，因此概率为2484515．选A．6．从n个正整数1,2,n…中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n（）A．6B．7C．8D．10【答案】C【解析】从n个数中取两个数的方法数为2(1)2nnnC，而取出两数之和为5，只有14,23两种取法，因此概率为21(1)142nn，解得8n，选C．7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则时间“310a”发生的概率为()A．23B．12C．13D．无法计算【答案】A．【解析】这是一个几何概型问题，随机数a在0~1之间，对应区间长度为1，而31a0，即13a，对应区间长度为12133，从而所求概率为23．选A．8．如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是（）A．14B．12C．22D．412DACBEF【答案】A．9．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A)16(B)13(C)23(D)45【答案】C【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2，由(12)32xx，解得48xx或．又012x，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C10．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A．14B．13C．12D．23【答案】C11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．B．．C．D．【答案】CCDEBAOSSSS【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为13,SS,两块阴影部分的面积分别为24,SS，则1234OABSSSSS扇形221(2)4aa①,而12SS与23SS的和恰好为一个半径为a的圆，即1223SSSS2a②．①-②得24SS，由图可知2SCEOEOSS扇形扇形DOCEDS正方形，所以．222Saa阴影．由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=222221OABSaaSa阴影扇形．选C．12．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为:(A)16(B)13(C)23(D)45【答案】C（二）填空题（4*5=20分）13.在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程22320xpxp++-=有两个负根的概率为________.【答案】32【解析】方程22320xpxp++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)020320ppxxpxxp即21,3p或2p，又因为[0,5]p，所以使方程22320xpxp++-=有两个负根的p的取值范围为2(,1][2,5]3，故所求的概率2(1)(52)23503，故填：32.【考点定位】几何概率.【名师点睛】本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布，首先将方程22320xpxp++-=有两个负根的充要条件找出来，求出p的取值范围，再利用几何概率公式求解，本题属于中档题，注意运算的准确性.14．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．【答案】23【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语;数1，语，数2;数2，数1，语;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P63．15．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择