搜索
10.3二项式定理第十一章10.3二项式定理-2-1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.第十一章10.3二项式定理-3-1.二项式定理(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b1+C𝑛2an-2b2+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bn(n∈N*),该等式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.该展开式有如下特点:(1)它是n+1项和的形式;(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数n,各项从左到右是按字母a的降幂且按字母b的升幂排列的;(3)它是两项和的形式,公式中a,b的位置不能互换,(a-b)n可按[a+(-b)]n展开;(4)C𝑛𝑟(r=0,1,2,…,n)叫做二项展开式第r+1项的二项式系数,它与a,b的取值无关.第十一章10.3二项式定理-4-2.通项公式Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr(r=0,1,2,…,n),它表示展开式中的任意一项,只要n,r确定,该项也就随之确定.3.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C𝑛𝑟=C𝑛𝑛-𝑟.(2)增减性与最大值:当n是偶数时,中间一项的二项式系数C𝑛𝑛2最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数C𝑛𝑛-12、C𝑛𝑛+12相等且最大.(3)各二项式系数的和:C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n,其中C𝑛0+C𝑛2+…=C𝑛1+C𝑛3+…=2n-1,即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,都等于2n-1.第十一章10.3二项式定理-5-想一想二项展开式中的二项式系数与各项系数有何区别和联系?答案:二项展开式中各项的二项式系数是C𝑛𝑟(r=0,1,2,…,n),它只与各项的项数有关,与a,b的值无关;而各项的系数不仅与各项的项数有关,而且还与a,b的值有关.当a,b是系数为1的单项式时,各项的系数与二项式系数是相等的.第十一章10.3二项式定理-6-答案解析解析关闭展开式的通项为Tr+1=C5𝑟x2(5-r)(-2)rx-3r=C5𝑟(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=C52(-2)2=40.故选C.答案解析关闭C基础自测1.(2013江西高考)𝑥2-2𝑥35展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-40第十一章10.3二项式定理-7-答案解析解析关闭原式=(1-𝑥)4(1+𝑥)4=(1-x)4,于是x的系数是C41·(-1)=-4.答案解析关闭A2.(1-𝑥)4(1+𝑥)4的展开式中x的系数是()A.-4B.-3C.3D.4第十一章10.3二项式定理-8-答案解析解析关闭(x-1)4=1+C41x(-1)3+C42x2(-1)2+C43x3(-1)+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,∴a0=1,a2=C42=6,a4=1.∴a0+a2+a4=8.答案解析关闭B3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为()A.9B.8C.7D.6第十一章10.3二项式定理-9-答案解析解析关闭二项展开式的通项为Tr+1=C6𝑟x6-r-𝑎𝑥𝑟=(-a)rC6𝑟x6-2r,∴A=(-a)2C62=15a2,B=(-a)3C63=-20a3.又∵B=4A,∴-20a3=60a2.∴a=-3(a=0舍去).答案解析关闭-34.若𝑥-𝑎𝑥6(a≠0)展开式的x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值为.第十一章10.3二项式定理-10-5.𝑥-13𝑥18的展开式中含x15的项的系数为.(结果用数值表示)答案解析解析关闭𝑥-13𝑥18展开式的通项Tr+1=C18𝑟x18-r-13𝑥𝑟=-13𝑟C18𝑟𝑥18-32r.令18-32r=15,则r=2,故展开式中含x15的系数为-132C182=17.答案解析关闭17第十一章10.3二项式定理-11-考点一考点二考点三误区警示考点一二项展开式的通项公式的应用【例1】(2013课标全国Ⅱ高考)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案解析解析关闭因为(1+x)5的二项展开式的通项为C5𝑟xr(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为C52x2+ax·C51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.答案解析关闭D第十一章10.3二项式定理-12-考点一考点二考点三误区警示方法提炼二项展开式的通项与数列的通项公式类似,它可以表示二项展开式的任意一项,只要n,r确定,该项也就随之确定.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项,如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的项、有理项等.第十一章10.3二项式定理-13-考点一考点二考点三误区警示举一反三1(2013陕西高考)设函数f(x)=𝑥-1𝑥6,x0,-𝑥,x≥0,则当x0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15答案解析解析关闭当x0时,f(x)=-𝑥0,则f[f(x)]=-𝑥+1𝑥6=𝑥-1𝑥6.Tr+1=C6𝑟(𝑥)6-r·-1𝑥𝑟=(-1)rC6𝑟𝑥6-𝑟2·𝑥-𝑟2=(-1)rC6𝑟x3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3C63=-20.答案解析关闭A第十一章10.3二项式定理-14-考点一考点二考点三误区警示考点二用“赋值法”求二项展开式系数的和【例2】在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.第十一章10.3二项式定理-15-考点一考点二考点三误区警示解:设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)各项系数和即为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C100+C101+…+C1010=210.(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+C1010=29,偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109=29.第十一章10.3二项式定理-16-考点一考点二考点三误区警示(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,∴奇数项的系数和为1+5102;①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,∴偶数项的系数和为1-5102.(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=1-5102;x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=1+5102.第十一章10.3二项式定理-17-考点一考点二考点三误区警示方法提炼(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=𝑓(1)+𝑓(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=𝑓(1)-𝑓(-1)2.第十一章10.3二项式定理-18-考点一考点二考点三误区警示举一反三2已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,其中ai(i=0,1,2,…,10)为实常数.求:(1)∑𝑛=110an的值;(2)∑𝑛=110nan的值.答案答案关闭解:(1)∵(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,∴令x=0,则a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32;令x=-1,则a0=1,故∑𝑛=110an=31.(2)∵(x2+2x+2)5=[1+(x+1)2]5=C50×15+C51(x+1)2+C52(x+1)4+C53(x+1)6+C54(x+1)8+C55(x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,∴a0=C50,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C51,a4=C52,a6=C53,a8=C54,a10=C55.∴∑𝑛=110nan=a1+2a2+3a3+…+10a10=2C51+4C52+6C53+8C54+10C55=10C51+10C52+10C55=50+100+10=160.第十一章10.3二项式定理-19-答案解析解析关闭∵52能被13整除,∴512012可化为(52-1)2012,其二项式系数为Tr+1=C2012𝑟522012-r·(-1)r.故(52-1)2012被13除余数为C20122012·(-1)2012=1,则当a=12时,512012+12被13整除.答案解析关闭D考点一考点二考点三误区警示考点三二项式定理的应用【例3】设a∈Z,且0≤a13,若512012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12第十一章10.3二项式定理-20-考点一考点二考点三误区警示方法提炼1.利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.2.求余数问题时,应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0),商式q(x)与余式的关系及余式的范围.第十一章10.3二项式定理-21-考点一考点二考点三误区警示举一反三3C271+C272+C273+…+C2727除以9的余数为.答案解析解析关闭C271+C272+…+C2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C90×99-C91×98+…+C98×9-C99-1=9(C90×98-C91×97+…+C98)-2.∵C90×98-C91×97+…+C98是正整数,∴S被9除的余数为7.答案解析关闭7第十一章10.3二项式定理-22-考点一考点二考点三误区警示误区警示混淆二项展开式的项与项数以及二项式系数与项的系数而致误【典例】已知𝑥-2𝑥2𝑛(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含𝑥32的项;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.第十一章10.3二项式定理-23-考点一考点二考点三误区警示错解:第五项系数和第三项系数分别为C𝑛4(-2)4和C𝑛2(-2)2,∴C𝑛4(-2)4C𝑛2(-2)2=101,解方程得n=8.(1)令x=1,则各项系数之和为(1-2)8=1.(2)Tr+1=C8𝑟(𝑥)8-r·-2𝑥2𝑟=C8𝑟(-2)r·𝑥8-𝑟2-2r,由8-𝑟2-2r=32,得r=1.∴含𝑥32的项为第二项.(3)系数最大的项为第五项即T5=1120x-6,二项式系数最大的项为C84.第十一章10.3二项式定理-24-考点一考点二考点三误区警示正解:由题意知,第五项系数为C𝑛4·(-2)4,第三项的系数为C𝑛2·(-2)2,则有C𝑛4·(-2)4C𝑛2·(-2)2=101,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)