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数学RB（理）第七章不等式、推理与证明§7.2均值不等式基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．均值不等式ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．a0，b0a＝b2ab2基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．算术平均值与几何平均值设a0，b0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为．4．利用均值不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最值是.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最值是.(简记：和定积最大)a＋b2ab两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值x＝y小2px＝y大p24题号答案解析12345CC基础知识·自主学习D－2(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为__________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为_______．题型一利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为__________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为_______．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用均值不等式．题型一利用均值不等式求最值答案【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为__________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为_______．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．题型一利用均值不等式求最值答案(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为__________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为_______．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华3＋221题型一利用均值不等式求最值答案3＋22【例1】(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为__________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为_______．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华(1)利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．(2)在求最值过程中若不能直接使用均值不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用均值不等式．题型一利用均值不等式求最值答案1跟踪训练1(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为________．(2)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析(1)依题意知，(xy＋y)(yx＋x)＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x×x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为4.题型分类·深度剖析(2)∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．43题型分类·深度剖析题型二不等式与函数的综合问题思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．题型分类·深度剖析对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围．思维启迪解析答案思维升华题型二不等式与函数的综合问题【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．题型分类·深度剖析(1)由f(x)0得32x－(k＋1)·3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，思维启迪解析答案思维升华即x＝log32时，等号成立)，∴k＋122，即k22－1.(2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－(x＋8x)＋3.题型二不等式与函数的综合问题【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．题型分类·深度剖析设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)．题型二不等式与函数的综合问题思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)．题型分类·深度剖析思维启迪解析答案思维升华[－83，＋∞)B题型二不等式与函数的综合问题【例2】(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________________．题型分类·深度剖析(1)af(x)恒成立⇔a(f(x))max，af(x)恒成立⇔a(f(x))min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性．思维启迪解析答案思维升华题型二不等式与函数的综合问题[－83，＋∞)B跟踪训练2若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3解析方法一设f(x)＝x2＋ax＋1，题型分类·深度剖析则对称轴为x＝－a2.当－a2≥12，即a≤－1时，f(x)在(0，12)上是减函数，应有f(12)≥0⇒a≥－52，∴－52≤a≤－1.当－a2≤0，即a≥0时，f(x)在(0，12)上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a≥0.当0－a212，即－1a0时，应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1a0.综上，a≥－52，故选C.跟踪训练2若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3方法二当x∈(0，12)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋1x)恒成立．题型分类·深度剖析又φ(x)＝x＋1x在(0，12)上是减函数，∴φ(x)min＝φ(12)＝52，∴[－(x＋1x)]max＝－52，∴a≥－52.C题型三均值不等式的实际应用【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维升华解析思维启迪题型分类·深度剖析把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3200元列等式，利用均值不等式即可求解．题型三均值不等式的实际应用【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由均值不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0S≤10，从而0S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．题型分类·深度剖析题型三均值不等式的实际应用【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪思维升华解析对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值．题型分类·深度剖析题型三均值不等式的实际应用跟踪训练3(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产