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数学RB（理）第七章不等式、推理与证明§7.5直接证明与间接证明基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．直接证明内容综合法分析法定义从出发，经过逐步的推理，最后达到的方法，是一种从推导到的思维方法从出发，一步一步寻求结论成立的，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从追溯到的思维方法已知条件待证结论原因结果待证结论充分条件结果产生这一结果的原因基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理特点从“”看“”，逐步推向“”，其逐步推理，实际上是要寻找它的从“”看“”，逐步靠拢“”，其逐步推理，实际上是要寻找它的步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)基础知识题型分类思想方法练出高分已知可知未知必要条件未知需知已知充分条件基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：t与矛盾，或与矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假设；③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．基础知识题型分类思想方法练出高分綈q⇒r⇒…⇒t假设某个真命题题号答案解析12345BB基础知识·自主学习Aa≥0，b≥0且a≠b(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型一综合法的应用【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．思维升华解析思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；题型分类·深度剖析(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论．题型一综合法的应用【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．思维启迪思维升华解析(1)证明取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.题型分类·深度剖析又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)解对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.题型一综合法的应用【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．题型分类·深度剖析任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝x，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，题型一综合法的应用思维启迪思维升华解析【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．题型分类·深度剖析有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2x1x2＋x2)＝－2x1x2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝x(x∈[0,1])不是理想函数．题型一综合法的应用思维启迪思维升华解析【例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝x(x∈[0,1])是否是理想函数．思维启迪思维升华解析用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：题型分类·深度剖析(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．题型一综合法的应用跟踪训练1定义：若数列{An}满足An＋1＝A2n，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数，证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”．证明∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，题型分类·深度剖析∴an＋1＝2a2n＋2an，∴2an＋1＋1＝4a2n＋4an＋1＝(2an＋1)2，∴{2an＋1}是“平方递推数列”．题型二分析法的应用【例2】已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.思维升华解析思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项.题型分类·深度剖析题型二分析法的应用【例2】已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.思维启迪思维升华解析证明∵m0，∴1＋m0.题型分类·深度剖析所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．题型二分析法的应用【例2】已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.思维启迪思维升华解析分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．题型分类·深度剖析题型二分析法的应用跟踪训练2已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13(a2＋b2)12.证明因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，题型分类·深度剖析只需证[(a3＋b3)13]6[(a2＋b2)12]6，即证(a3＋b3)2(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b33a4b2＋3a2b4.因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab3(a2＋b2)．而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3＋b3)13(a2＋b2)12.题型三反证法的应用【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．思维升华解析思维启迪(1)先利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)两式相减得an和an＋1的关系，再求an；题型分类·深度剖析(2)用反证法证明．题型三反证法的应用【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．思维启迪思维升华解析(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，题型分类·深度剖析两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N＋)，题型三反证法的应用【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．题型分类·深度剖析则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为pqr，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．题型三反证法的应用思维启迪思维升华解析所以假设不成立，原命题得证．【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．思维启迪思维升华解析(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．题型分类·深度剖析(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．题型三反证法的应用跟踪训练3在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B90°.题型分类·深度剖析证明假设∠B90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即ba，bc.∴1a1b，1c1b，相加得1a＋1c1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾．故∠B≥90°不成