【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.3等比数列及其前n项和课件 理 北师大版

数学北（理）第六章数列§6.3等比数列及其前n项和基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的，通常用字母表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝(a1≠0，q≠0)．3．等比中项若，那么G为a与b的等比中项．从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)公比qa1·qn－1G2＝a·b(ab≠0)基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．qn－mak·al＝am·an基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠16．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.qn题号答案解析12345A基础知识·自主学习D22n＋1－2(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑2n【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算．思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算(1)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1a11－q31－q＝7，解得a1＝4q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，思维启迪解析答案思维升华∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，思维启迪解析答案思维升华即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.所以a1＝1q＝2或a1＝－16q＝12.故a3＝4或a3＝－4.【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算B4或－4(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.所以a1＝1q＝2或a1＝－16q＝12.故a3＝4或a3＝－4.【例1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．思维启迪解析答案思维升华B4或－4跟踪训练1(1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．12(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于()A．3B．4C．5D．6(3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A．158或5B．3116或5C．3116D．158题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析解析(1)∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10，即am＝a1·q10，∴m＝11.故选C.(2)因为3S3＝a4－2，①3S2＝a3－2②①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝a4a3＝4.(3)若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2.题型分类·深度剖析故an＝a1qn－1＝2n－1，1an＝(12)n－1.所以数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列，其前5项和为S5＝1×[1－125]1－12＝3116.答案(1)C(2)B(3)C【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解．思维启迪解析答案思维升华【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.思维启迪解析答案思维升华因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，思维启迪解析答案思维升华故q5＝－132，q＝－12.【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用思维启迪解析答案思维升华51－12(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.【例2】(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_____.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．思维启迪解析答案思维升华51－12题型分类·深度剖析跟踪训练2(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N＋)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为()A．4B．7C．10D．12(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.题型分类·深度剖析解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝5×10＝52.(2)因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a2m，又由题中am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2.由等比数列的性质可知前(2m－1)项积为T2m－1＝a2m－1m，即22m－1＝128，故m＝4.题型分类·深度剖析(3)根据等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8,7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝718.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝718－8＝－78.答案(1)A(2)A(3)－78【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型三等比数列的判定思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．题型分类·深度剖析题型三等比数列的判定(2)由cn求an再求bn.思维升华解析思维启迪【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an