2012高考数学 数学思想与数学方法 专题训练试题

专题八数学思想与数学方法专题训练一、选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2x2}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩(∁RB)等于()(A)(－2,0]．(B)[0,2)．(C)[0,2]．(D)(－2,0)．【解析】解不等式x2－2x≤0，得0≤x≤2，∴B＝{x|0≤x≤2}，∴∁RB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，故A∩(∁RB)＝(－2,0)．[答案]D2．已知虚数z＝(x－2)＋yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，则的取值范围是()(A)[－]．(B)．(C)[－]．(D)[－，0)∪(0，]．yx3333,330033,,33,33【解析】∵设k＝，则k为过圆(x－2)2＋y2＝1上点及原点的直线斜率,作图如下,k≤，又∵y≠0，k≠0，故的取值范围是．[答案]B(x－2)2＋y2＝1，y≠0，yx1333330033,,3．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比q为()(A)2．(B)3．(C)4．(D)5．【解析】两式相减得a6－a5＝2a5，∴a6＝3a5，∴q＝3．[答案]B4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()(A)210种．(B)420种．(C)630种．(D)840种．【解析】由题意先从3位班主任中选出1男2女或者2男1女，然后再全排列，所以共有(C·C＋C·C)·A＝420种，故选B．或A－A－A．[答案]B5．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f，则f(0)等于()(A)－．(B)－．(C)．(D)．22323231212【解析】由图可知，T＝，ω＝3，f，∴f(0)＝f．又图象的对称中心是，∴f，∴f，故f(0)＝f．[答案]C117212123T232()3xfx237012,7()6xfx72226233ff22336．编辑一个运行程序：1]()(A)－2002．(B)2002．(C)－2004．(D)2004．【解析】由已知得[1][答案]C7．设x＞0，y＞0，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()(A)12．(B)14．(C)16．(D)18．【解析】由9x＋y＝xy，得＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋≥10＋2＝16.[答案]C19xy19xy9yxxy9yxxy8．不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是()(A)≤a≤1．(B)≤a≤1．(C)≤a≤．(D)≤a≤2．【解析】f(t)在(0,2]上为减函数,a要小于等于,即a要小于等于f(t)在(0,2]上的最小值f(2)＝1.g(t)＝在(0,2]上为增函数,a要大于等于,即a要大于等于g(t)在(0,2]上的最大值g(2)＝,故≤a≤1.[答案]B29tt22tt16164132131622222121112()48ttttt22tt29tt29tt2249132139．△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B＝30°,△ABC的面积为,那么b为()(A)1＋．(B)3＋．(C)．(D)2＋．【解析】如下图，由面积公式得：12333333·ac·sin30°＝⇒ac＝2．①由a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c．②又由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos30°，即b2＝(a＋c)2－2ac－2ac，得b2＝4b2－2×2－2，求得b＝．[答案]C121232333310．过正三棱锥S－ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为()(A)．(B)．(C)或．(D)或．【解析】如图，在正三棱柱S－ABC中，设底边BC＝a，侧棱SB＝b，∵SO⊥面ABC，AC⊥BD，133313336666∴AC⊥SD,∴∠SDB即为侧面与底面所成角的平面角．∵SD＝，BD＝a，SB＝b．显然SBSD，∴SB＝BD或SD＝BD．(1)若SB＝BD，即b＝a，此时SD＝a，∴cos∠SDB＝．222214SCCDba3232322223232226632222aaaaa(2)若SD＝BD，即a，化简得a＝b，此时BD＝a，SD＝a，SB＝a，∴cos∠SDB＝，∴侧面与底面所成角的余弦值为或．[答案]C221342ba323222232143324aaa661311．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点,点P在y轴上的射影是点M,点A的坐标是,则|PA|＋|PM|的最小值是()(A)．(B)4．(C)．(D)5．【解析】如图，焦点F，当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－．[答案]C742,11292102,12221711194522222212.（2011年衡水一中一模）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱AB上异于点A的一定点，点P是平面ABCD内的一动点，且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为()(A)圆．(B)椭圆．(C)双曲线．(D)抛物线．【解析】点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M距离的平方大4，可转化为点P到点M的距离等于P到AD的距离，由抛物线定义得点P的轨迹为抛物线．[答案]D二、填空题13．如果(1＋x2)n＋(1＋x)2n的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40，则n的值等于________．【解析】(1＋x2)n的展开式中不含x项，x2项的系数是Cn1；(1＋x)2n的展开式中x项的系数是C2n1，x2项的系数是C2n2，所以Cn1＋C2n1＋C2n2＝40，解得：n＝4．[答案]414．与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为________．【解析】①若截距a≠0，可设直线方程为：＝1即x＋y－a＝0．由已知：＝5，可得：a＝7±5．②若截距a＝0，由于OP所在的直线方程为y＝x，且|OP|＝5，∴所求直线方程为y＝－x．综上，所求直线方程为x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0或4x＋3y＝0．[答案]x＋y-7-5＝0或x＋y-7＋5＝0或4x＋3y＝0xyaa432|a|23443222215．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．【解析】||2＝(x＋y)2＝x2＋y2－xy＝1，即(x＋y)2－3xy＝1，所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋32,得x＋y≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立．[答案]2OAOBOCOAOB2xyOCOAOB16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数．下列函数：①f(x)＝sin；②f(x)＝π(x－1)2＋3；③f(x)＝；④f(x)＝log0.6(x＋1)．其中是一阶格点函数的是________．(填上所有满足题意的序号)【解析】①中函数不通过格点；②中函数通过格点(1,3)；③中函数通过多个格点；④中函数通过格点(0,0)．[答案]②④3x13x三、解答题17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k0)的周期为,当x∈时,方程f(kx)＝m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝＝2π．由T＝得ω＝1．22303,11662wxy－1131－11363564311673176又令w+F＝，即+F＝，解得F＝，∴f(x)＝2sin+1．(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin+1的周期为，又∵k0，∴k＝3．令t＝3x-，∵x∈，∴t∈．B+A＝3，B-A＝-1，解得A＝2，B＝1.56256233x3kx2303,233,如图，f(t)＝sint＝s在上有两个不同的解的充要条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈上恰好有两个不同的解的充要条件是m∈[+1,3)，即实数m的取值范围是[+1,3)．233,312,03,3318．某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对少于3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．(1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【解析】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为；选手甲答4道题进入决赛的概率为；选手甲答5道题进入决赛的概率为328327223212833327C；∴选手甲可进入决赛的概率p＝．(2)依题意，ξ的可能取值为3,4,5．则有P(ξ＝3)＝；P(ξ＝4)＝；P(ξ＝5)＝；因此，有∴Eξ＝3．22242121633381C88166427278181332113332222332121211033333327CC22222244212211833333327CCξ345p13102782711081072645332727272719．试求常数a的取值范围，使曲线y＝ax2-1的所有弦都不能被直线x+y＝0垂直平分．【解析】(法一)判别式法曲线y＝ax2-1关于直线x+y＝0对称的曲线方程为-x＝ay2-1.两式相减，得x+y＝a(x2-y2)，∴两对称点A、B所在的直线方程为y＝x．代入y＝ax2-1，得a2x2-ax+1-a＝0．由D＝a2-4a2(1-a)＞0，解得a＞．故当a＞时曲线上存在两点关于直线x+y＝0对称,原题要求所有弦都不能被直线垂直平分,那么a∈(-∞,0)∪1a3434304,(法二)基本不等式法设已知曲线上关于直线x+y＝0对称的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则将①、②代入③、④，并注意x1x2，得将⑤、⑥代入基本不等式y1＝ax12-1，①y2＝ax22-1，②y2-y1x2-x1＝1，③x1+x22+y1+y22＝0.④x1+x2＝1a，⑤x12+x22＝-1a2+2a，⑥(x1x2)，有2＜，解得a＞．故当a＞时曲线上存在两点关于直线x+y＝0对称,原题要求所有弦都不能被直线垂直平分,那么a∈(-∞,0)∪.222121222xxxx2211122-aaa3434304,20．已知函数f(x)＝tx2+2t2x+t-1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求