【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的步骤:0＞0＜缩短伸长1||sin(x)A；(2)用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的一般步骤:①列表:ωx+φ0π2πx_____________y=Asin(ωx+φ)______-A023222320A0②描点画图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.(3)简谐振动y=Asin(ωx+φ)中的有关物理量:y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)，x∈[0，+∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A______φ2T＝1fT2＝ωx+φ2.必备结论教材提炼记一记正、余弦函数的图象在一个周期［0,2π］内的五个关键点分别是：(0，0)，(,1),(π,0),(,-1),(2π,0);(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).2322323.必用技法核心总结看一看(1)常用方法：由函数y=sinx的图象经过平移、伸缩变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的方法，“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法.(2)数学思想：数形结合，转化化归.(3)记忆口诀：左加右减，上加下减.横向伸长，周期变大，x的系数变小.横向缩短，周期变小，x的系数变大.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)把y=sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y=sinx.()(2)正弦函数y=sinx的图象在［0，2π］上的五个关键点是(0，0)，(,1)，(π，0)，(,-1),(2π,0).()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()1212232(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.()【解析】(1)错误.横坐标缩短，周期变小，ω变大，故本题变换后，所得图象的解析式为y=sin2x.(2)正确.由正弦函数y=sinx的图象易知本结论正确.(3)错误.“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.(4)正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的，其中答案：(1)×(2)√(3)×(4)√||MmA.22.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P55T2改编)为了得到函数y=2sin(x-)的图象，只要把函数y=2sin(x+)的图象上所有的点()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选C.根据函数图象的平移法则可知C正确.366622(2)(必修4P58T4改编)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i=5sin(100πt+),t∈［0,+∞).则电流i变化的初相、周期分别是_______.【解析】由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是,周期答案：3321T.100501,3503.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·四川高考)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度【解析】选A.只需把y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度,便得到函数y=sin(x+1)的图象,选A.(2)(2015·柳州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω0)的部分图象如图，则ω=()A.5B.4C.3D.2【解析】选B.由图象可知，即,故ω=4.00Txx244，2T2(3)(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y=sin(2x+)的图象重合，则φ=________.【解析】函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象，即y=sin(2x+)的图象向左平移个单位得到函数y=cos(2x+φ)的图象.y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，23233232得到y=sin[2(x+)+]=sin(2x+π+)=-sin(2x+)=cos(+2x+)=cos(2x+),因为-π≤φ＜π,所以φ=.答案：323323565656考点1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换【典例1】(1)(2014·重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,-≤φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f()=____.(2)已知函数y=3sin().①用五点法作出函数的图象；②说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的.22661x24【解题提示】(1)先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值，然后求出实数f()的值.(2)将看成一个整体，列表得出五个关键点.图象变换时先平移后伸缩.61x24【规范解答】(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为y=sin(2ωx+φ)，再向右平移个单位长度得到的函数为所以又因为ω0,6ysin[2(x)]sin(2x)sinx,6321,2k,kZ,3,22可求得ω=,φ=，所以f(x)=所以答案：61sin(x),2612f()sin()sin.6266422212(2)①列表：0π2πx030-302322521x2413sin(x)24327292描点、连线，如图所示：②先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象；再把y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象，最后将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象.444412412412【互动探究】在本例(2)①中，条件不变，作出函数在［0,4π］上的图象.【解析】因为0≤x≤4π，作出函数在［0,4π］上的图象,所以列表如下：17x.42440πx04π030-32322321x2413sin(x)244745272322322描点，作出函数图象如图．【规律方法】1.在指定区间[a,b]上画函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法(1)选取关键点:先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内选取特殊点,连同区间的两端点一起列表,此时列表一般是六个点.(2)确定凹凸趋势:令ωx+φ=0得x=x0,则点(x0,y0)两侧的变化趋势与y=sinx中(0,0)两侧的变化趋势相同,可据此找准对应点,以此把握凹凸趋势.2.两种不同变换思路中平移单位的区别由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是(ω0)个单位.提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.||【变式训练】已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度48844【解析】选A.由题意得=π，ω=2，所以f(x)=sin(2x＋)，g(x)=cos2x=sin(2x＋).将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度时，y=sin[2(x+)+]=sin(2x＋)=cos2x.2428842【加固训练】1.将函数y=sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．【解析】函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后，得y=sin(2x++φ)，则+φ=kπ+,k∈Z.又0≤φ＜π，故φ=答案：66332.662.(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+).(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)画出函数y=f(x)在［0,π］上的图象，并说明y=f(x)的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的.【解析】(1)f(x)=2sin(2x+).则f(x)的最小正周期T==π.当2x+=2kπ+(k∈Z),即当x=kπ+(k∈Z)时f(x)max=2.4422428(2)列表如下：π2πx0πf(x)20-2083858782x442329422根据列表，描点、连线，作图如下.y=f(x)的图象是由y=sin2x的图象经过以下变换得到的：先将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象，再将y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y=2sin(2x+)的图象.8444考点2由图象求解析式【典例2】(1)(2013·四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ),的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是()(0,2A.2,B.2,C.4,D.4,3663)2(2)(2015·铜陵模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω0,|φ|)的图象的一部分如图所示：①求f(x)的解析式；②求f(x)的单调增区间.2【解题提示】(1)本题考查的是ω,φ对函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的影响，需要重点关注的是周期与最大(小)值点.(2)由最高点和最低点的纵坐标求A和b，由周期求ω，由最高点的坐标求φ.【规范解答】(1)选A.根据图象可知所以函数的周期为π，可得ω=2，根据图象过代入解析式，结合可得φ=故选A.11156T21212122，5(,2)12，22－，3，(2)①由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，则又所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.将x=,y=3代入上式,得sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.3(1)3(1)A2,b1.222T2(),36222,T63326因为|φ|,所以φ=所以f(x)=2sin(2x+)+1.②由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).2,662626363【易错警示】解答本例(2)有三点容易出错：(1)识别图象不清，无法确定A,b的值.(2)不能从图象中求出周期，从而求不出ω.(3)忽视φ的取值范围，从而求错φ的值.【互动探究】对于本例(2),根据图象写出函数f(x)的对称轴及其单调递减区间.【解析】由图象知,函数f(x)的周期是2×()=π.函数f(x)的对称轴是x=(k∈Z),单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).236k26623【规律方法】确定y=Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则(2)求ω，确定函数的周期T，则(3)求φ，常用方法有：①