2017届高考数学大一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词理课

第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。J基础知识自主学习1．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题：“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作___________。像这样含有__________的命题，叫作全称命题。(2)存在量词与特称命题：“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作____________。像这样含有的命题，叫作特称命题。2．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是__________；特称命题的否定是___________。知识梳理全称量词全称量词存在量词存在量词特称命题全称命题3．逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有“_____”“____”“_____”。(2)命题p或q、p且q、綈p的真假判断pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真且或非[判一判](1)命题“56或52”是真命题。()解析正确。该命题是“56”和“52”构成的“或”命题，只要有一个是正确的，该命题就是真命题。(2)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题。()解析错误。由真值表可判断，要使p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题。(3)“对顶角相等”是全称命题。()解析正确。由全称命题的概念可知。基础自测√√×(4)命题p和綈p不可能都是真命题。()解析正确。若p是真命题，则綈p一定是假命题。(5)命题“对任意x∈R，x2≥0”的否定是“对任意x∈R，x20”。()解析错误。全称命题的否定为特称命题。√×[练一练]1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设命题p：存在n∈N，n22n，则綈p为()A．对任意n∈N，n22nB．存在n∈N，n2≤2nC．对任意n∈N，n2≤2nD．存在n∈N，n2＝2n解析∵p：存在n∈N，n22n，∴綈p：对任意n∈N，n2≤2n，故选C。答案C2．(2015·广东梅州质检)下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－10B．对任意x∈N＋，(x－1)20C．存在x∈R，lnx1D．存在x∈R，tanx＝2解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B。答案B3．命题p：对任意x∈R，sinx1；命题q：存在x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p且qB．綈p且qC．p或綈qD．綈p且綈q解析∵p是假命题，q是真命题，∴綈p且q是真命题。答案B4．(2015·浙江卷)命题“对任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．对任意n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．对任意n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．存在n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．存在n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0解析命题“对任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“存在n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0”，故选D。答案D5．(2015·江苏泰州中学期末)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________。解析∵“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2＋2x＋m0”是真命题。∴Δ＝4－4m0，解得m1，故a的值是1。1R热点命题深度剖析考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)(2015·河南洛阳一模)已知命题p：存在x∈R，使sinx＝52；命题q：任意x∈R，都有x2＋x＋10。给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③【解析】(1)因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝521，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ0，所以q为真。因而②③正确。故选B。【答案】B(2)已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2，在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】由不等式的性质，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。【答案】C【规律方法】“p或q”“p且q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”形式命题的真假。对于“p且q”命题：一假则假；对于“p或q”命题：一真则真；对“綈p”命题与“p”命题真假相反。变式训练1(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p或qB．p且qC．(綈p)且(綈q)D．p或(綈q)解析对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题。由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题。故p或q为真命题。故选A。答案A(2)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题。其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析“非p或非q”是假命题，则“p且q”为真命题，“p或q”为真命题，从而①③正确。答案A考点二全称命题、特称命题全称命题、特称命题的真假及其否定以其独特的形式成为高考命题的亮点，常和其他数学知识相结合，以选择题、填空题的形式出现。角度一：全称命题、特称命题的真假判断1．(2015·皖南八校联考)下列命题中，真命题的是()A．存在x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12B．任意x∈(0，π)，sinxcosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1xD．存在x0∈R，x20＋x0＝－1解析对于A选项：对任意x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x0＝π6，sinx0＝12，cosx0＝32，sinx0cosx0，故B为假命题；对于C选项：x2＋1－x＝x－122＋340恒成立，故C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝x＋122＋340恒成立，不存在x0∈R，使x20＋x0＝－1成立，故D为假命题。答案C2．下列命题中是假命题的是()A．对任意x∈0，π2，xsinxB．存在x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C．对任意x∈R,3x0D．存在x0∈R，lgx0＝0解析对任意x∈0，π2，设单位圆与角x的终边交于点P(x，y)，与x轴的正半轴交于点A(1,0)，作PM⊥x轴于点M，由正弦函数的定义知MP＝sinx，AP的长l＝x，由S扇形OAPS△OAP⇒xsinx，故对任意x∈0，π2，xsinx，即选项A是真命题；因为sinx＋cosx＝2sin(x＋φ)≤22，故选项B是假命题；由指数函数的值域知对任意x∈R,3x0是真命题，即选项C是真命题；因为x0＝1时，lgx0＝lg1＝0，故存在x0∈R，lgx0＝0是真命题，即选项D是真命题。故选B。答案B角度二：全称命题、特称命题的否定3．(2015·湖北卷)命题“存在x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．存在x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1B．存在x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1C．对任意x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．对任意x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1解析“存在x0∈M，p”的否定是“对任意x∈M，綈p”。故选C。答案C4．(2015·湖北省稳派教育质量检测)已知f(x)＝3sinx－πx，命题p：对任意x∈0，π2，f(x)0，则()A．p是假命题，綈p：对任意x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：存在x0∈0，π2，f(x0)≥0C．p是真命题，綈p：存在x0∈0，π2，f(x0)≥0D．p是真命题，綈p：对任意x∈0，π2，f(x)0解析∵f′(x)＝3cosx－π，∴当x∈0，π2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，即对任意x∈0，π2，f(x)f(0)＝0恒成立，∴p是真命题。又全称命题的否定是特称命题，∴綈p：存在x0∈0，π2，f(x0)≥0。故选C。答案C【规律方法】全(称)特命题问题的常见类型及解题策略(1)全(特)称命题的真假判断。①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可。②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题。(2)对全(称)特命题进行否定的方法。①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词。②对原命题的结论进行否定。考点三利用逻辑联结词或量词探求参数问题【例2】(1)(2015·山东卷)若“对任意x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________。1【解析】由题意知m≥(tanx)max。∵x∈0，π4，∴tanx∈[0,1]。∴m≥1。故m的最小值为1。(2)(2015·锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围。【解】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋40对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－160，∴－2a2。又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a1。∴a1。又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假。①若p真q假，则－2a2，a≥1，∴1≤a2；②若p假q真，则a≤－2或a≥2，a1，∴a≤－2。综上可知，所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)。【规律方法】(1)根据命题的真假性求参数的方法步骤：①求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；②判断命题p，q的真假性；③根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围。(2)全称命题可转化为恒成立问题。变式训练2(1)命题“存在x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围为__________________。[－22，22]解析因题中的命题为假命题，则它的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤22。(2)已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m0对任意x恒成立。若命题q或(p且q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________。解析由于綈p真，所以p假，则p且q假，又q或(p且q)真，故q真，即命题p假、q真。当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－40，解得－2m2；当命题q真时，4－4m0，解得m1。所以所求的m的取值范围是1m2。(1,2)S思想方法感悟提升⊙1个关系——逻辑联结词与集合的关系“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”。⊙2类否定——全称命题和特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p：对任意x∈M，p(x)；綈p：存在x0∈M，綈p(x0)。(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p：