12.了解下列定理:圆周角定理和圆心角定理及其推论、圆内接四边形的性质与判定定理、圆的切线的判定定理及性质定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切线长定理、切割线定理,并会用上述定理及推论解决相关的几何问题..体会用分类讨论的方法证明定理,用运动变化的思想进行探究.1.与圆有关的角的概念()()(12)3AOBBACBAT圆心角:顶点在圆心,两边和圆相交的角叫做圆心角如图①中的.圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角叫做圆周角如图②中的.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角如图③中的.___________________.()________90__________122.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.圆心角的度数等于它所对弧的①同弧或等弧所对的圆周角②;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的推论:弧也③ 半圆或直径所对的圆周角是④;圆推论:.圆周角和圆心角定周角所对的弦是⑤理_______________________1345_______.__________.2.圆内接四边形的判定.圆内接四边形的性如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形⑥圆.如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.圆的内接四边形的对角⑦,并且任何一个外角都等于它的⑧经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的质.圆的直线,是圆的⑨切线的判定______.________.__.7__261圆的切线垂直过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过⑩经.圆的切线的性质.弦切角定过切点且垂直于切线的直线必经过弦切角等于它所夹的弧所对的理推论:推论:89__________.________.________1__0圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的从圆外一点引圆的切线,它们的切线长;圆心和这一点的连线.相交弦定理.切割线定理.切两条切线线长定理的夹角.①度数;②相等;③相等;④直角;⑤直径;⑥内接于;⑦互补;⑧内切角;⑨切线;⑩切点;圆心;圆周角;相等;比例中项;相等【要点指南】;平分1.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的大小是()A.100°B.130°C.50°D.150°【解析】由题设∠BAD=12∠BOD=50°,则∠BCD=180°-∠BAD=130°,故选B.2.如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC与⊙O相切于点C,已知∠CAB=21°,则∠CPA的大小为()A.48°B.69°C.21°D.59°【解析】由题设∠BCP=∠CAB=21°,且∠ABC=90°-∠CAB=69°,则∠CPA=∠ABC-∠BCP=69°-21°=48°,故选A.3.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PB=1,PD=3,则BCAD的值为13;若PA=2,则PC等于23.【解析】因为∠P=∠P,∠A=∠PCB,所以△PCB∽△PAD,所以PBPD=BCAD=13.由割线定理PBPC=PDPA,则PC=PB·PAPD=23.4.如图,PT与⊙O相切于点T,割线PA与⊙O相交于点A、B,PA与CT相交于D,已知CD=2,AD=3,BD=4,则PB=20.【解析】由相交弦定理,CD·DT=AD·BD,所以DT=AD·BDCD=3×42=6.由勾股定理,PT2=(PB+4)2-62=PB(PB+7),求得BP=20.故填20.5.(2012·惠州模拟)如图,AB是⊙O的直径,P是AB延长线上的一点.过P作⊙O的切线,切点为C,PC=23,若∠CAP=30°,则⊙O的直径AB=4.【解析】连接OC,则OC⊥CP,所以△OCP为直角三角形,由弦切角定理可知∠COP=2∠CAP=60°,又CP=23,故CO=CPtan60°=233=2,所以直径AB=4.一圆内接四边形的判定与应用【例1】已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.(1)求证:A,M,O,P四点共圆;(2)求∠OAB+∠APM的大小.【解析】(1)证明:连结OP、OM.因为AP是⊙O的切线,所以AP⊥OP.因为M是BC的中点,所以OM⊥AC.因为四边形AMOP中,AP⊥OP,OM⊥AC,所以∠OPA+∠OMA=180°,所以A,M,O,P四点共圆.(2)由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAB=∠OPM,又由AP⊥PO,所以∠OAB+∠APM=∠OPM+∠APM=∠APO=90°.【点评】推理论证平面几何问题,结合图形细心观察,合理联想,恰当转化,通过适当的添加辅助线,方能实现由已知到待证的简捷推导.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,求线段CD的长.素材1【解析】因为圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,所以∠ACB=90°,又BC=3,所以∠ABC=60°,所以AC=AB·sin60°=6×32=33.因为直线l是圆的切线,所以∠ACD=∠ABC=60°.又AD⊥DC,所以CD=AC·cos60°=33×12=332.二切割线定理及应用【例2】已如图,△ABC内接于圆O,P是△ABC的高CE的延长线上一点,PC交圆O于D,若PA2=PD·PC,AE=2,CE=32,cos∠ACB=13,求BE的长.【解析】由PA2=PD·PC,知PA是圆O的切线,所以∠PAE=∠ACB.又PC⊥AB,所以∠AEP=90°.又cos∠ACB=13,在Rt△PAE中,cos∠PAE=AEPA=13.因为AE=2,所以PA=6,所以PE=PA2-AE2=62-22=42,所以PC=PE+CE=42+32=72.因为PA2=PD·PC,所以PD=PA2PC=6272=1827,所以DE=PE-PD=42-1827=1027.因为AE·BE=DE·CE,所以BE=DE·CEAE=1027×322=307.【点评】切割线定理,相交弦定理是研究直线与圆综合问题的重要定理,联想并应用时常利用综合法和分析法相结合的方法探索求解问题的思路.如右图,等边三角形ABC中,边AB与⊙O相切于点H,边BC、CA分别与⊙O交于点D、E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC=1,求DE的长.素材2【分析】DE是CD与BE的公共部分,要求DE,应与BE,BD,CD,CE建立联系,可利用切割线定理转化为BH,CF,CG的关系从而得到解决.【解析】由切割线定理可知:AH2=AG·AF=16,所以AH=4.又AC=AG+GF+FC=9,所以AB=AC=9,故BH=5,则BD·BE=BH2=25.又因为CE·CD=CF·CG=7,BC=AC=9,设BD=x,CE=y,则有x9-y=25①y9-x=7②①-②得x-y=2,即x=y+2.③把③代入②得y2-7y+7=0,解得y=7±212.因为x+y=2y+2<9,即y<72,所以y=7-212,所以x+y=2y+2=7-21+2=9-21,从而DE=BC-(BD+EC)=9-(x+y)=21.三圆周角定理和圆的切线定理及应用【例3】如图,⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连接AD并延长,与过点C的切线交于点P,OD与BC相交于点E.(1)求证:OE=12AC;(2)求证:PDPA=BD2AC2.【解析】(1)因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.又D是弧BC的中点,由垂径定理得OD⊥BC,因此OD∥AC.又因为O为AB的中点,所以E为BC的中点,故OE=12AC.(2)因为D是劣弧BC的中点,所以CD=DB.连接CD,因为PC是⊙O的切线,所以∠PCD=∠CAP,又∠P=∠P,所以△PCD∽△PAC,得PCPA=PDPC=CDAC=BDAC,得BD2AC2=PD2PC2=PD2PA·PD=PDPA.【点评】仔细审题,分析题设条件,探究相关结论,考察目标(待定),思考实现目标需要什么条件,这样便于获得求解的基本策略而解决问题.如图,AD为⊙O的直径,BC切⊙O于E点,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4,DC=1,则AD等于5.素材3【解析】连接DF、OE,因为AD是直径,所以∠AFD=90°.又AB⊥BC,DC⊥BC,所以四边形BCDF是矩形.所以BF=DC.由切割线定理得BE2=BF·BA=1×4=4,BE=2.因为OE⊥BC,DC⊥BC,AB⊥BC,所以CD∥OE∥AB.O为AD的中点,所以E为BC的中点.所以BC=4.所以DF=4.在Rt△ADF中,AD=AF2+FD2=5.备选例题如右图,已知AB为半圆O的直径,直线l切半圆于点C,AD⊥l于点D,BE⊥l于点E,BE交半圆O于点F,AD=3cm,BE=7cm.(1)求⊙O的半径;(2)求线段DE的长.【分析】①连接OC,证C为DE的中点.在解有关圆的切线问题时,常常要作出过切点的半径.②对于(2)则连接AF,证四边形ADEF为矩形,从而得到AD=EF,然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长.【解析】(1)连接OC.因为l切半圆于点C,所以OC⊥l.因为AD⊥l,BE⊥l,所以AD∥OC∥BE.因为OA=OB,所以CD=CE,所以OC=12(AD+BE)=5cm.(2)连接AF,因为AB为半圆O的直径,所以∠AFB=90°,即∠AFE=90°,所以∠AFE=∠DEF=90°,所以四边形ADEF为矩形,所以DE=AF,AD=EF=3.在Rt△ABF中,BF=BE-EF=4,AB=10,所以DE=AF=AB2-BF2=102-42=221,故线段DE的长为221.【点评】1.当题目中涉及圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径,通过它可以构建有用的垂直关系.2.在梯形当中,最常见的辅助线是高线,可以构造出直角三角形,然后在直角三角形中进行相关的计算.12.圆内接四边形的重要结论:内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程..圆的切线的性质定理及推论有如下结论:如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个,就可推出第三个:①垂直于切线;②过切点;③过圆心.于是利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线.34.判定切线通常有三种方法:①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线..圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角,准确理解它们的定义、定理及所对、所夹弧的关系.5.与圆有关的比例线段的证明要诀:相交弦、切割线定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.