电路 第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点1.周期函数分解为傅立叶级数和信号的频谱;2.周期量的有效值、平均值；3.非正弦电流电路的计算和平均功率;4.滤波器的概念。12.1非正弦周期信号12.2周期函数分解为傅立叶级数12.3有效值、平均值和平均功率12.4非正弦周期电流电路的计算12.1非正弦周期信号一．非正弦周期信号按非正弦规律变化的周期电源和信号为非正弦周期信号。例ut方波电压ut锯齿波it脉冲波形二．谐波分析法这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。首先，应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。12.2周期函数分解为傅里叶级数一．傅氏级数周期电流、电压、信号等都可以用一个周期函数表示，即f(t)=f(t+kT)式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，即)sin()cos()sin()cos()2sin()2cos()sin()cos()(111011121211110tkbtkaatkbtkatbtatbtaatfkkkkk还可以写成另一种形式:)cos()cos()2cos()cos()(110121121110kkmkkkmmmtkAAtkAtAtAAtf两种形式系数之间的关系如下:00aA22kkkmbaAkkmkAbsin)arctan(kkkabkkmkAacos傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:A0—为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）；)cos()cos()2cos()cos()(110121121110kkmkkkmmmtkAAtkAtAtAAtfA1mcos(ω1t+ψ1)—为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原周期函数f(t)相同；其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、…k次谐波。上式中的系数，可由下列公式计算：上述计算式中k=1,2,3,…2200)(1)(1TTTdttfTdttfTa)()cos()(1)()cos()(1)cos()(2)cos()(211201122101tdtktftdtktfdttktfTdttktfTaTTTk)()sin()(1)()sin()(1)sin()(2)sin()(211201122101tdtktftdtktfdttktfTdttktfTbTTTk)sin()cos()sin()cos()2sin()2cos()sin()cos()(111011121211110tkbtkaatkbtkatbtatbtaatfkkkkk二．频谱用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为f(t)的频谱图。幅度频谱：表示各谐波分量的振幅的频谱为幅度频谱。相位频谱：把各次谐波的初相用相应线段依次排列的频谱为相位频谱。例0Akmkω1ω15ω14ω13ω12ω16ω1由于各谐波的角频率是ω1的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为线频谱。例12-1求图示周期性矩形信号的傅立叶级数展开式及其频谱.f(t)Em-Em0π2πω1ttT/2T解:f（t）在第一个周期内的表达式为mmEtfEtf)()(TtTTt220利用公式求系数为:0)(100TdttfTa0)()cos(2)()cos()()cos(1)()cos()(10112110112011tdtkEtdtkEtdtkEtdtktfammmk)cos(12)cos(12)()sin(2)()sin()()sin(1)()sin()(1010112110112011kkEtkkEtdtkEtdtkEtdtkEtdtktfbmmmmmk当k为偶数时:cos(kπ)=1,bk=0当k为奇数时:cos(kπ)=-1,bk=4Em/kπ由此求得:)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEtfm频谱图:0kω1ω15ω13ω1AkmmE434mE54mE当函数为偶函数（纵轴对称）时，有bk=0当函数为奇函数（原点对称）时，有ak=0当函数为镜对称函数时，有a2k=b2k=0偶函数tf(t)奇函数tf(t)镜对称函数tf(t)12.3有效值、平均值和平均功率一．有效值任一周期电流i的有效值定义为：TdtiTI021设一非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数：)cos(110kkkmtkIIi代入有效值公式，则得此电流的有效值为：TkkkmdttkIITI01210)]cos([1上式中i的展开式平方后将含有下列各项：200201IdtITT这样可求得i的有效值为：122023222120kkIIIIIII非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论适用于所有的非正弦周期量。21202)(cos1kkTkmIdttkIT0)cos(21100dttkIITkkmT)0)cos()cos(21110qkdttqtkIITqkqmTkm，（二．平均值以电流i为例，其定义由下式表示：dtiTITav01即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。按上式可求得正弦电流的平均值为：IItTIdttTIdttITImTmTmTmav898.0637.0)][sin(4)cos(4)cos(140400它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。例如：用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的恒定分量；因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；)]cos([)]cos([100100ikkkmukkkmtkIItkUUuip式中u、i取关联参考方向。平均功率为：TpdtTP01不同频率的正弦电压和电流乘积的积分为零（即不产生平均功率）；同频的正弦电压、电流乘积的积分不为零。kkkIUIUIUIUPcoscoscos22211100式中：，，，，，2122kIIUUikukkkmkkmk即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和。三．平均功率任意一端口的瞬时功率（吸收）为：12.4非正弦电流电路的计算一.计算步骤:非正弦周期电流电路的计算采用谐波分析法，具体步骤如下：(1)把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低而定。（2）分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。对恒定分量（ω=0），求解时把电容（C）看作开路，即：1/ωC=；电感（L）看作短路，即：ωL=0。(3)并把计算结果转换为时域形式;注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量直接相加是没有意义的。(4)应用叠加定理，把步骤（3）计算出的结果进行叠加，求得所需响应。CkXLkXCkLk111，对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗与频率的关系，即：二．举例例12-2图示电路中,VtttttuCRs)9cos(71.15)7cos(20.20)5cos(28.28)3cos(13.47)cos(40.14110:,45.91,3111111输入电源为求电流i和电阻吸收的平均功率P。解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。电流相量一般表达式为：CkjRUIksk1)()(1根据迭加定理，按k=0，1，2，…的顺序，依次求解如下：RC+-usi0,0,10,0000PIVUk直流分量WRIPAAjIVUks02.30539.7208.1045.9301000100,12)1()1()1()1(WRIPAAjIVUks93.1754.4666.715.33033.33033.33,32)3()3()3()3(,29.1949.3,23.2434.4,21.3258.5)9()7()5(AIAIAI(5)(7)(9)95.5256.5536.60PWPWPW最后按时域形式迭加为：Attttti)29.199cos(249.3)23.247cos(234.4)21.325cos(258.5)4.463cos(266.7)39.72cos(208.1011111WPPPPP80.6699310同理求得：例12-3图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求负载两端电压的各谐波分量。Lus+-CRusUm0π2πω1t解:将给定的us分解为傅立叶级数,得Vttus)4cos(151)2cos(3121157411，用结点电压法有：次谐波为设负载两端的第)(kUk)(1)(11111kskUULjkCjkRLjk1111)()(LjkCjkRkskUU令k=0,2,4,•••,并代入数据,可分别求得:VUVUVU12.05.2100)4()2(0us＋－CRL三．滤波器利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些不需要的频率分量，这种电路为滤波器。低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。低通高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。高通例：图示电路中，激励u1(t)=u11(1)+u12(2)，包含1、2两个频率分量，且12，要求响应u2(t)只含有1频率电压，如何实现？+_u1(t)u2(t)可由下列滤波电路实现：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)2121CLω)(13211CCLω并联谐振，开路串联谐振，短路例：电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：（1）us(t)的有效值；（2）电感L1和L2；（3）电源发出的平均功率。Vttuts)2cos(216)cos(21512)(+-us(t)L1L2CRuR(t)+-解:（1）VUs25161512222（2）中不含基波，即则，对并联谐振与（)1)(tRuCL11LCHCL1101000116221若使uR(t)中二次谐波与电源二次谐波电压相同，则L、C电路发