电路 邱关源教材课件 第8章

主要内容：正弦量的概念正弦量的相量表示法基尔霍夫定律的相量形式第八章相量法基本要求：牢固掌握正弦量的概念和相量表示法基尔霍夫定律的相量形式1、一个复数A的几种表示形式(1)代数形式(直角坐标形式)：A=a1+ja2式中a1、a2都是实数，分别为A的实部和虚部，1j称为虚数单位。采用Re和Im两种记号表示实部和虚部。§8-1复数因此有：Re(A)=Re(a1+ja2)=a1Im(A)=Im(a1+ja2)=a2(2)三角形式：用三角函数表示A=acos+jasin=a(cos+jsin)式中2221aaa称为复数A的模(或幅值)，总为正值；tg=a2/a1，称为复数A的辐角。复数A在复平面上可用向量表示，如图。(3)指数形式由欧拉公式sincosjej可得：jaeA(4)极坐标形式是复数三角形式和指数形式的简写形式。2、复数的运算(1)相等：两个复数的实部和虚部分别相等；两个复数的模和辐角分别相等。(2)加减运算：用代数形式来进行。几个复数的相加或相减，就是它们的实部和虚部分别相加或相减。复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平面上用作图法来进行。aA(3)乘法运算：用极坐标形式或指数形式来进行。即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。(4)除法运算：用极坐标形式或指数形式来进行。)()(bajbaabeabBA即：复数相除，其模相除，其辐角相减。(5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。是一个模等于1而辐角为的复数。任意复数乘以ej等于把复数A逆时针旋转一个角度，而A的模值不变。一个复数乘以j，等于把该复数在复平面上逆时针旋转/2；一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，即等于把该复数在复平面上顺时针旋转/2。)(/)(//bajbabeabaBA1jeaaA§8-2正弦量正弦电压和电流：随时间按正弦规律变化的电压和电流分别称为正弦电压和正弦电流。通常说的交流电指正弦交流电。可用正弦（sin）或余弦（cos）函数表示。一、正弦量(正弦波)的三要素振幅、角频率(频率或周期)和初相。正弦电压u(t)=Umcos(t+)(1)振幅：正弦量的最大值Um。(2)角频率：表示了每秒变化的弧度数。用表示，fT22单位为弧度/秒(rad/s)。(3)相位角：式中t+称为相位角，简称相位。(4)初相角：正弦量在t=0时刻的相位角，简称初相。初相角反映了正弦量初始值的大小。即：u(0)=Umcos初相角的取值：的大小与计时起点有关。如果正弦量的正最大值发生在时间起点之前，则为正值；如果正弦量的正最大值发生在时间起点之后，则为负值。||。单位：弧度(rad)，工程上常用度作单位。1=/180rad，1rad=(180/)幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为正弦量的三要素。二、同频率正弦量的比较例：u1(t)=U1mcos(t+1)u2(t)=U2mcos(t+2)(1)相位差：相角或相位之差，也称相位角差。用表示，=(t+1)-(t+2)=1-2相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。相位差与计时起点的选择无关。如果0，说明u1的相位超前于u2的相位一个角度，简称为u1超前u2(或u2滞后u1)。即u1比u2先到达正最大值。如果0，说明u1的相位滞后于u2的相位一个角度，简称为u1滞后u2(或u2超前u1)。即u1比u2后到达正最大值。如果=0，则称u1与u2同相位。如果=±/2，则称u1与u2相位正交。如果=，则称u1与u2反相位。(2)相位比较=1-2为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。根据有效值的定义，则有RTIRdtiT202周期电流的有效值又叫方均根值。TdtiTI021三、正弦电流、电压的有效值1、有效值2、正弦量的有效值)cos()(imtIti对于正弦电流，设mmTimIIdttITI707.02)(cos1022同理：UUUUUmmm2707021.通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。IIm2)cos(2)(itIti相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。§8-3相量法的基础1、用复数表示正弦函数用欧拉公式sinjcosej正弦函数联系起来。令=t，其中为常量，单位为rad/s，则tttsinjcosej由此可得：,]eRe[cosjtt]eIm[sinjtt依此，正弦电压u(t)=Umcos(t+)可以写作：]eeRe[]eRe[)(jj)(jtmtmUUtu令,ejmmUU则]Re[]eRe[)(jtUUtumtm把复指数函数与由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。其中是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含了该正弦电压三要素中的两项。如果给定角频率，则可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函数的复数。mjmmUeUUmjmmUeUU(1)电压相量：幅值相量其中Um为电压幅值，U为电压有效值，u为电压初相。(2)电流相量：幅值相量其中Im为电流幅值，I为电流有效值，i为电流初相。注意：相量只能表示正弦量，并不等于正弦量。有效值相量有效值相量ummUUuUUimmIIiIIIIm2UUm2若不作特殊说明，所称相量均指有效值相量。3、相量图：作为复数，相量在复平面上可用向量表示，相量在复平面上的图示称为相量图。4、旋转相量：相量与ejt的乘积)(tjmeU是时间t的复值函数，在复平面上可以用以恒定角速度逆时针方向旋转的相量表示，称之为旋转相量。旋转相量在实轴上的投影就是正弦量在任何时刻的瞬时值。例1、设有两个同频率的正弦电流试写出代表这两个正弦电流的相量，并画相量图。解：AI6/31AI3/42/6-/31I2I21II+1+joAIII1.23521Atti)6/314cos(23)(1Atti)3/314cos(24)(2Attititi)1.23314cos(25)()()(21例2、已知VUm30501VUm1501002f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。解：(1)由VUm30501可知U1m=50V，1=-30=2f=100=314rad/s所以u1(t)=U1mcos(t+1)=50cos(314t-30)V(2)由VUm1501002可知U2m=100V，2=150所以u2(t)=U2mcos(t+2)=100cos(314t+150)V小结：1、相量法就是用复数来表示正弦量，正弦量与相量之间有一一对应关系。实质上相量法是一种变换，它通过相量把时域里求微分方程的正弦稳态解的问题，“变换”为在频域里解复数代数方程的问题。2、利用相量法，同频率正弦量的相加(或相减)可以变换为其对应的相量相加(或相减)。u(t)=Umcos(t+)i1(t)=I1mcos(t+1)Ai2(t)=I2mcos(t+2)Ai=i1+i2mmmIII21mjmmUeUU3、利用相量法，一个正弦量乘以任意一个常数的运算相当于其对应相量乘以该常数。4、利用相量法，一个正弦量对时间取导数的运算可以变换为其对应相量乘以j的运算。u(t)=Umcos(t+)u(t)=Umcos(t+)mmUUu(t)=Umcos(t+))2cos()sin(tUtUdtdummdu/dt的相量为mjmjjmj(mUjeUjeeUeU22)mjmmUeUU§8-4电路定律的相量形式一、KCL的相量形式正弦电流电路中，由任一节点流出（或流入）的各支路电流的有效值相量（或幅值相量）的代数和恒为零。01nkkmI01nkkI或二、KVL的相量形式正弦电流电路的任一回路中，沿着任意选定的回路绕行方向计算各支路电压的有效值相量（或幅值相量）的代数和恒为零。01nkkmU或01nkkUKCL可表示为：KVL可表示为：例3、图示为电路中一个节点，已知Atti)60cos(210)(1Atti)90cos(25)(2求i3(t)及I3。i1i3i2解：AI60101AI9052依KCL可得：AjjjIII2.362.666.35566.859056010213所以I3=6.2AAtti)2.36cos(22.6)(3+1+j3I1I2Io(a)+1+j3I1I2Io(b)在相量图中相量321III、、构成平行四边形；21II与首尾相联，与3I构成电流三角形。AI60101AI9052AI2.362.63uR(t)=Ri(t)三、元件VCR的相量形式（1）VCR时间函数关系式1、电阻元件mRmIRUIRU（2）VCR相量形式它既表明电压、电流有效值之间的关系，又表明电压、电流相位之间的关系。U=RI和u=i即：)cos()(uRmRtUtu其中：)cos()(imtItiuRRUUiII电阻中正弦电流和电压的波形图、相量图前者表明电压有效值和电流有效值符合欧姆定律，后者表明电压与电流同相。电压幅值和电流幅值符合欧姆定律URm=RIm2、电容元件（1）电容元件电压电流时间函数关系式)cos()(uCmCtUtu其中：)cos()(imtIti上式中dttiCtuC)(1)(为电压幅值相量为电流幅值相量uCmjCmCmUeUUuimjmmIeIIimmCmICjICjU11它既表明电压、电流有效值之间的关系，又表明电压、电流相位之间的关系。即：前者表明电压有效值和电流有效值符合类似欧姆定律，后者表明电容电压滞后电流/2(90º)。ICjICjUC11ICUC1902iiu电压幅值和电流幅值符合类似欧姆定律mCmICU1（2）VCR相量形式电容中正弦电流和电压的波形图、相量图（3）容抗：电容电压有效值（或幅值）与电流有效值（或幅值）之比，定义为容抗XC。fCCIUIUXmCmCC211则IXUCCmCCmIXU电容C一定，容抗XC与频率成反比。频率越小，容抗XC越大。当直流情况为0，容抗XC无限大，相当于开路。容抗和电阻单位相同，为欧姆（）。电容具有隔直传交的性质。CYC称为容纳，西门子（S）。3、电感元件（1）电感元件电压电流时间函数关系式：)cos()(uLmLtUtu