量子信息与量子计算课件

量子信息与量子计算绪论通信系统的理论模型信息学理论——研究信息的产生、存储、加工、传播等行为的科学理论编码器信道噪声源译码器信宿干扰消息信号+干扰信号消息信源1.信源—产生消息和消息序列的源2.编码器—把信息转化为信号的设备（1）信源编码器：提高信息传输的效率（2）信道编码器：提高信息传输的可靠性3.信道—通信系统把载荷消息的信号从甲地传输到乙地的媒介4.译码器—对信道输出的编码信号进行逆变换的设备5.信宿—消息传送的对象编码器信道噪声源译码器信宿干扰消息信号+干扰信号消息信源？信息是什么？衡量通信的有效程度和可靠程度的标准是什么？怎样判断通信方法的优和劣？信息的定义与度量问题1928年哈特来（R.V.L.Hartley）首先提出了“信息”这一概念。1948年控制论创始人维纳（N.Wiener）指出“信息是信息，不是物质，也不是能量”。1948年香农（C.E.Shannon）对信息及其行为进行了定性和定量的描述。香农给出了两个著名的基本定理：（1）信源编码定理也称无噪编码定理或香农第一编码定理，定量的给出了用于存储从信源发出信息所需要的物理资源；（2）信道编码定理也称含噪编码定理或香农第二编码定理，定量的给出了有噪声的信道能可靠传输信息的量。相对于20世纪末期新生的现代量子信息理论，我们称香农理论为经典理论量子信息学——一门新兴的、以量子力学与经典信息学理论为主干的交叉性学科。信息学量子力学量子信息学量子通信量子计算量子隐形传态量子密钥分发量子计算机量子算法第一章量子信息与量子计算的基本概念§1.1量子信息§1.2经典解读§1.3量子逻辑门（量子逻辑电路）简介§1.4图灵机、经典计算机与量子计算机§1.5有关量子信息编码的基本概念现代物理将微观世界中所有的微观粒子（光子、电子、原子等）统称为量子。量子假说：对于一定频率的电磁辐射，物体只能以此最小单位吸收或发射它，换言之，吸收和发射电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个“量子”的能量可以表示为:h1.量子§1.1量子信息一、量子力学基础式中为普朗克常数。h(1.1-1)2.态矢量描述微观粒子在三维空间运动的波函数ψ可以用坐标矢量r=(x,y,z)和时间t的复函数ψ（r,t）来表示。粒子的波函数也叫做几率幅，其模的平方表示在时刻t粒子出现在位置r上的几率密度。2*(,)(,)(,)rtrtrt微观粒子的波函数也可用Dirac符号表示，即复矢量空间的右矢也可用于表示波函数。叫做态矢量，它可以用n维复矢量空间的列矢量表示:12naaa12,,,naaa为坐标矢量r,时间t和自旋S的函数(1.1-2)(1.1-3)利用Dirac符号，两个量子态和的叠加态可以表示为：12cc右矢量的复共轭矢量叫做左矢量，n维左矢量可以表示为：†***12,,,naaa波函数满足归一化条件：1n维矢量空间中单位矩阵可以用任意的、构成完备系的基矢表示：iiIii(1.1-4)(1.1-5)(1.1-6)(1.1-7)从而，态矢量可以表示成基矢的线性组合iiii其中，基矢满足正交、归一条件iijij各种可观测量叫做作用于波函数上的算符。任何一个物理量算符A的期待值或平均值为：*,,AArtArtdr物理量A的测量值必须为实数(1.1-8)(1.1-9)(1.1-10)3.自旋1/2体系的量子态自旋的粒子在z轴方向的投影只有自旋向上和向下两种可能，因此可自旋的粒子的状态可用二分量矢量来表示。朝z轴正向的自旋（自旋向上）态和朝z轴负向的自旋（自旋向下）态可用列矢量表示:12120110(1.1-11)自旋的粒子的自旋角动量算符可以表示为：1212S(1.1-12)因为态矢量和均为二分量，自旋角动量算符应为2×2矩阵。式（1.1-12）中2×2矩阵的x,y,z的分量分别为:0110x00yii1001z(1.1-13)Pauli自旋矩阵【例1.1-1】试用自旋算符，的本征态和表示的本征态。2Szsxs解设的本征值为和的本征态分别记作和，的本征值为和的本征态分别记作和。将用的本征态和展开，则xsxxzszz12121212xzszzxzzaabb(1.1-14)由的归一化条件可得x221xxab(1.1-15)由Pauli矩阵的本征值方程xxxx(1.1-16)即0110ababab(1.1-17)得到ab(1.1-18)再利用式（1.1-15）得到，因此最后得到的自旋向上的本征态：12abxs1()2xzz(1.1-19)对于，利用xxxx(1.1-20)或者0110ababab(1.1-21)得到ab(1.1-22)从而有(1.1-23)由式(1.1-19)和式(1.1-23)很容易验证两个本征矢的正交性0xx(1.1-24)作业：试用自旋算符，的本征态和表示的本征态。2Szsys1()2xzz二、量子信息利用微观粒子状态表示的信息称为量子信息量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。图1.1－1具有两个电子层面的原子可以表示量子信息Quantumrepresentedbytwoelectroniclevelsinanatom微观粒子系统举例：◆光子具有两个不同的线偏振态或椭圆偏振态；◆恒定磁场中原子核的自旋；◆具有二能级的原子、分子或离子；◆围绕单一原子自旋的电子的两个状态（如图1.1-1）等。三、量子信息的基本存储单元及其特性经典信息的基本存储单元——比特（bit），可以由经典状态1和0（如电压的高低）表示。量子信息的基本存储单元——量子比特(qubit)，一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态和对应于经典状态的0和1。01100011(1.1-25)a01b(1.1-26)n个量子比特的状态：121,2,,nn(1.1-27)一个量子比特能够处于既不是又不是的状态上，而是处于和的一个线性组合的所谓中间状态之上，即处于和的叠加态上。000111利用量子的某一状态表示信息时，我们就说信息量子化了并称为量子信息由于信息载体（量子）的微观特性，量子信息就变的多姿多彩。这些微观特性主要表现在：①量子态相干性：微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不可思议特性的重要物理基础；②量子态纠缠性：N(大于1)个量子在特定的(温度、磁场)环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态；③量子态叠加性：量子状态可以叠加，因此量子信息也是可以叠加的，所以可以同时输入和操作N个量子比特的叠加态；④量子不可克隆定律：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制，量子不可克隆定律和测不准原理构成量子密码术的物理基础。用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。量子力学理论描述量子信息演绎的行为。薛定谔方程制约着量子态信息的每一步演变，线性代数的幺正变换约束着可逆的量子态信息计算；量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集合状态的变化（微观客体的关联具有非局域的性质，且可以延伸到很远的距离），结果信息的获取便是在得到输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。四、线性代数中的量子符号及其运算的简介量子力学理论是线性的。我们已知在量子力学态矢空间中使用标准符号描述向量，且用0表示该向量空间的零向量，因此对于任意的，下列等式成立：v0vv(1.1-28)一个向量空间的生成集合是一个向量集合{}，该向量空间中的任意向量都能够写成这个生成集合的线性组合。1,,nvvviiivav2C例向量空间的生成集合是110v201v(1.1-29)2C中的任意向量12ava(1.1-30)能够写成和的线性组合。我们说和生成向量空间。v1v2v1122vavav1v2v2C张量乘积是线性代数的基本运算1111122212nnnmmnabababababababab(1.1-31)表1.1－1给出了线性代数中表述量子力学中量的标准符号及其简要说明。表1.1－1线性代数中一些量子力学标准符号及其简要说明四、量子态叠加与量子态纠缠（纠缠态）量子态的叠加性源于微观粒子“波粒二象性”的波动“相干叠加性”（一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象）。量子纠缠状态（entangledstate）指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性（一个以上的微观粒子因微观系统的特性相互交缠在一起的现象）。量子态可以叠加的物理特性是实现量子并行计算的基础。量子态能够纠缠是实现信息高速的不可破译通信的理论基础，它们都是量子信息理论中特有的概念。（A）．量子态的矩阵表示例：一对量子比特100011(1.1-32)能够组成四个不重复的量子比特对，，，，求出它们张量积的矩阵表示。00011110(1.1-33)很显然集合是四维向量空间的生成集合。{00,01,10,11}（B）．量子态叠加与量子态纠缠当量子比特列的叠加状态无法用各量子比特的张量乘积表示的话，这种叠加状态就称为量子纠缠状态。例：有一量子叠加状态(1.1-34)0由于其最后一位量子比特位都是，因此能够将它写成量子比特与量子比特的乘积：0(1/201/21)(1.1-35)但是，对于下列的量子叠加状态：(1.1-36)无论采用怎样的方法都无法写成两个量子比特的乘积。这个叠加状态就称为量子纠缠状态。返回量子状态叠加与并行处理的关系用两个简单的例子介绍：例：十进制数10和5，若用量子比特来表示，则可分别写成10101010101010501010101(1.1-37)取它们的叠加态10101051010010110100101(1.1-38)11122()()()()ninnxfxxfxxfxxfx(1.1-39)例：同时计算一个函数f(x)在一系列位置上的取12,,,nxxxxx()fx值，我们也可以取更复杂的纠缠态。如设置x和y=f(x)为两个存储器，他们的量子态分别为和，则下列纠缠态就包含了该函数整体上的信息：对它实施各种运算，就如同并行计算一个函数f(x)在一系列位置上的函数值。12,,,nxxxx具体的考虑单量子比特体系0,1x0,1f(1.1-40)将运算f(x)作用到具有两个寄存器的状态，其中，第一个寄存器叫做数据寄存器，第二个寄存器叫做目标寄存器。设算符作用于状态，给出,xy,xyxyfU,xy,,()fUxyxyfx(1.1-41)运算过程如下：如图1.1-2所示，首先将Hadamard们作用到数据存储器的状态上，接着再作用，则可以得到fUx10,0(0,01,0)21(0,(0)1,(1))2ffUHUff(1.1-42)由此可见量子叠加状态是实现真正物理意义上并行计算的物质基础10200,(0)1,(1)2ffHfU图1.1-2量子并行计算由于并行计算，和的结果同时以线性组合的形式包括在式（1.1-42）的状态中(0)f(1)f§1.2经典解读一、薛定谔猫和EPR佯谬1.薛定谔猫薛定谔猫的实验装置巧妙地将微观放射源和宏观的猫联系起来2.EPR佯谬量子力学是否