量子信息学引论第2讲

量子信息学引论清华大学2012.9.26第三讲12前面所介绍的内容•量子信息学总览•量子位（量子比特）•单量子位门•多量子位门•在非计算基上的测量•量子线路–例子:Bell态–例子:量子传态2目录第二章量子力学引论2.1线性代数2.2量子力学假定2.3应用:超密编码2.4密度算子2.5Schmidt分解与纯化2.6EPR与Bell不等式3量子力学引论•量子力学是已知的对世界的最精确、完整的描述•量子力学是我们理解量子信息学的基础.•理解量子力学的要求:熟悉线性代数.4线性代数Linearalgebra•线性代数研究矢（向）量空间及其上面的线性操作.•对量子力学的很好理解要基于对基本线性代数的牢固掌握.•本节复习线性代数的基本概念,并描述量子力学中用到的这些概念的标准记法.5线性代数Linearalgebra•矢量和矢量空间•生成集•线性相关•基与维数•线性算子与矩阵•算子的复合•矩阵表示•内积•标准正交矢量组•内积的矩阵表示•外积•本征向量与本征值•伴随与厄米算子66内容•几类重要的算子•厄米算子•正规算子•张量积•对易子与反对易子•同时对角化定理检查一下都认识吗?7左边-Dirac记号右边-解释记号的含义Dirac记号•直观•简洁线性代数研究的基本对象是矢量空间。我们最感兴趣的矢量空间为Cn，即复数的n元数组,(z1,…,zn)。一个矢量空间的元素叫做矢量,有时用列矩阵来记之:矢量空间Vectorspace8定义了加法操作(addition),将一对矢量变成另一个矢量。Cn中,矢量加法由下式定义:定义了乘以标量的操作(multiplicationbyascalar).z是一个复数矢量空间9矢量空间•矢量空间中矢量的标准量子力学符号是：•一个矢量空间也包含一个特殊的零矢量,记作0。（不用因为已有另外含义）•矢量空间V的一个矢量子空间(vectorsubspace)也是一个矢量空间,即在标乘与加法下为封闭的.100矢量矩阵表示和量子力学符号生成集（张成集）(Spanningset)12221121vavaaav矢量空间的生成集(spanningset)：一组矢量的集合,矢量空间中的任一矢量都可写成生成集的线性组合:nvv,...,1viiivav例:矢量空间C2的一个生成集为:10;0121vv生成集2211212122vaavaaaav13矢量空间可以有不同的生成集，如C2的另一生成集为线性相关141、三个矢量（1，-1），（1，2）和（2，1）是否线性相关？为什么？2、写出C3的一个生成集。基与维数15•矢量空间V的基:任意两组线性无关集,若都张成矢量空间V,则这两个集所含的元素数相等,称这样一个集合为V的基(basis).•这样一个基矢集合总存在,其中的元素数目叫做V的维数(dimension).•量子信息学中,一般只对有限维矢量空间感兴趣.基16矢量空间可以有不同的基，C2的一个基为101;010C2的另一个基为线性算子与矩阵1718向量空间V上的线性算子线性算子A定义在向量空间V上时是指：:VVA算子的复合19线性算子与矩阵的例子矩阵111121311112213322122232112222333baaaabababAvbaaaabababb123bvbb三维向量两者相乘111213212223aaaAaaa线性算子与矩阵是等价的（即矩阵可以看成先行算子），如mXn阶以aij为元素的矩阵A在同Cn向量进行矩阵成法时，它是把Cn向量转移到Cm向量的一个线性算子算子的矩阵表示21矩阵表示与算子等价矩阵表示与抽象算子是完全等价的.注意:为把矩阵与线性算子联系起来,必须对输入和输出矢量空间指定一个输入与输出基.不同基下矩阵表示不一样。22练习：设V是以和为基矢的矢量空间，A是从V到V的线性算子，使给出A相对于输入基和输出基的矩阵表示。0101,10AA1,01,0算子的矩阵表示的例子iiijjwAvA0,10101110022122111AAAAAAA11=0,A21=1,A12=1,A22=0,0110A1010101100101100A23算子的矩阵表示作业24设V是以和为基矢的矢量空间，A是从V到V的线性算子，使给出A相对于输入基和输出基的矩阵表示，这里0101,10AA1,0,P-60（E64）：2.3and2.4泡利矩阵ThePaulimatrices•Pauli矩阵为2x2阵,有多种记号.•对于量子信息学很重要,通过运用记住.•现在知道为什么叫X门与Z门了吧？25内积Innerproducts26其中,用作矢量的对偶矢量(dual)。对偶运算是从内积空间V到复数C上的线性算符,定义为:内积是一个函数,它在一个矢量空间中取两个矢量和产生一个复数作为输出.记法:和的内积可方便地记为,但此非标准的量子力学记法.量子力学的标准记法为:vwvwwv,wvvv.,wvwvwv内积的定义27内积例子28例:Cn具有如下定义的内积nniiinnzzyyzyzzyy1111***,...,,,...,在量子信息学中常出现的有限维复矢量空间中，一个Hilbert空间与内积空间是一样的，这两词可互换。对偶向量的矩阵表示是一个行向量标准正交矢量组29vvv正交:两矢量的内积为0.矢量的模(或范数norm):的模为1，称其为单位向量或称为归一化向量非零矢量的归一化形式：正交归一矢量组(标准正交矢量组）：一组以索引i标号的一组矢量，每个矢量都是单位矢量，不同矢量正交，即，vv/vijjiivGram-Schmidt方法•设是内积空间V的一组基。可以用Gram-Schmidt方法产生一个V的标准正交基，其中：对d,,21dvvv,,21111/wwvkiikikkiikikkvwvwvwvwv111111111dk30证明Gram-Schmidt法生成标准正交基不难证明和正交，根据归纳法，假设情况下，彼此正交，则只需证明与正交即可:1v2vkvvv,,2111dk1mkmv0111111111111kiikikkmkmkiikikkiimkikmkmvwvwwvwvvwvwvvwvwvvv311kv证明Gram-Schmidt法生成标准正交基根据定义：到都等于1，前面证明它们相互正交，所以，任意维数为d的有限维内积空间都有标准正交基，1vdvdvv,132对偶矢量的解释：是一个行矢量，它的元素是相应列矢量的复共轭。内积的矩阵表示•如果两个矢量的矩阵表示是对于相同的标准正交基，则它们的内积等于它们矩阵表示的内积：33nnwwvvwv11**iiiiivviww;vv内积的用途:外积,完备性关系34外积的矩阵表示**1111**1**1mmnnnmnmwwvwvwvvvwwvwv完备性关系证明设为矢量空间中一标准正交基，则任意矢量可写成：iv是一组复数iiivivv,注意到：所以：ivviiiiivivviiviiIiii上式对任意成立，故有v36任意算子的外积表示设：A是一从V到W的线性算子，和分别是V和W的标准正交基，则可用完备性关系得到A的外积表示：37iviwijiijjiiijjjvwvwvAwvvAwwAIIA相对于输入基和输出基，A的第i列第j行元素是：ivjwijvAw其中v是复数,称为A对应于的本征值.•对应于本征值v的本征空间(eigenspace)是具有本征值v的矢量的集合,它是A作用的矢量空间的子空间.•一个算子若有对角表示,即称之为可对角化的.•一个本征空间大于一维时,称之为简并的.•矢量空间上的一个线性算子A的本征向量为一非零矢量,•使得vvvvA本征向量与本征值Eigenvectorsandeigenvalues38v对角表示•矢量空间V上算子A的一个对角表示如下,其中矢量形成A的一个正交本征矢量集.39iiAiii11001001Z对于Pauli矩阵Z,因为Z的本征值是1和-1，相应的本征矢量是101;010伴随与厄米算子AdjointsandHermitianoperators伴随(adjoints)算子(或:厄米共轭):设A为Hilbert空间上的任一线性算子,则V上有唯一的线性算子A+,使得对所有的矢量,这个算子就叫做A的伴随或厄米共轭.在算子的矩阵表示中,厄米共轭即A的共轭转置矩阵:wvAwAv,,Vwv,*TAA40Example121iiAii的厄米共轭为T†121121iiiiAiiii伴随算子的一个性质†††ABBA证明：††††,,,,,vABwABvwvABwAvBwBAvw因此†††ABBA几类重要的算子:43AA厄米算符的性质1厄米算符的平均值为实数2厄米算符的本征波函数具有正交性3厄米算符的本征函数是完备的4两个厄米算符有共同本征波函数完备集的充分必要条件是：二者对易。正规算子的谱分解定理谱分解是正规算子最重要的表示定理.定理2.1:(谱分解)矢量空间V上的任何正规算子M对于V的某个正交归一基是对角化的.反之,任何可对角化的算子也是正规的.45正规算子的充要条件是能对角化•令是M的一个本征值，P是到本征空间的投影算子，Q是到正交补的投影算子。则：M=(P+Q)M(P+Q)=PMP+QMP+PMQ+QMP显然：PMP=P,QMP=0设是P中的一个矢量，则因此，有本征值，因此是子空间P的元。故：QM+P=0，取此式伴随则有：PMA=0，因此M=PMP+QMQ下面证明QMQ是正规的。正规算子的谱分解定理vvMvMMvMMvM46因为：QM=QM（P+Q）=QMP+QMQ=QMQQM+=QM+（P+Q）=QM+P+QM+Q=QM+Q由于M是正规的，且Q2=Q，故有QMQQM+Q=QMQM+Q=QMM+Q=QM+MQ=QM+QMQ=QM+QQMQ所以，QMQ是正规的。根据归纳假设QMQ相对于某正交归一基是对角化的。而PMP已是对角的，因此M=PMP+QMQ对某正交归一基是对角化的。正规算子的谱分解定理47正规算子的外积表示•正规算子可以表示成：48iiMiiwithiiiiMPPiiiijjiiiPPPIP;i是M的本征值，是V的正交归一基，每个是M的具有本征值i的本征矢量。用投影算子表示，则有：而且：ii•张量积是将几个矢量空间放在一起,形成一个更大的矢量空间.•这个结构是理解多粒子系统的量子力学的关键.•设V和W分别为m,n维的矢量空间,则(“V张量W”)为mn维矢量空间.其元素是V中元素和W中元素的“张量积”的线性组合，记为：张量积Tensorproducts49WVwvvwvwvw张量积的基本性质:50张量积空间上的算符51A是V上的线性算符，B是W上的线性算符，则可以在WV上定义线性算符AB运算为：张量积空间Kronecker积52两个量子位组成的张量积空间也能用Kronecker积来表示。53例如：一个记号kk自身的k次张量积练习：1、写出Pauli矩阵X和Y的张量积，即?XY2、写出矢量1012的Kronecher积形式或以的2次3次张量积01的张量积形式。求。因Z的本