极坐标与直角坐标的互换

确定点的位置直角坐标系OP（x，y）xy极坐标系OxM),(两种坐标系各有什么优点先看下面一个例子：已知点M直角坐标系下坐标为（2,2），极坐标系下坐标为)4,22(（1）将点M向右平移3个单位到点N，则N点坐标为（2）将点M绕极点逆时针旋转4到点P，则P点坐标为先看下面一个例子：已知点M直角坐标系下坐标为（2,2），极坐标系下坐标为)4,22(（1）将点M向右平移3个单位到点N，则N点坐标为（2）将点M绕极点逆时针旋转4到点P，则P点坐标为（5,2）)2,22(由此得到结论：直角坐标系适用点的平移变动；极坐标系适用点的旋转变动。点的极坐标点的直角坐标极坐标与直角坐标的互化（1）极点与直角坐标系的原点重合;三个前提条件：（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和xysincosyxxyyxtan222注：将点的直角坐标化为极坐标时，取20,0),(yx),(互化公式OPxy例1把下列点的极坐标化为直角坐标：)32,8()1(M)47,6()2(N例1把下列点的极坐标化为直角坐标：)32,8()1(M)47,6()2(N解：由互化公式得（1）,432cos8x,3432sin8y点M的直角坐标是)34,4(（2）,2347cos6x,2347sin6y点N的直角坐标是)23,23(对于点的极坐标中0上面的公式也适用。)32,8(M例如：也可以表示为)35,8(M此时：,435cos8x,3435sin8y同样得到点M的直角坐标是)34,4(变式训练在极坐标系中，求两点间距离：);45,12(),4,5()1(BA变式训练在极坐标系中，求两点间距离：);45,12(),4,5()1(BAOx)4,5(A5)45,12(B17125||AB12)2,8(),6,2()2(BA)2,8(),6,2()2(BAOx)6,2(A2)2,8(B8)2,8(),6,2()2(BA由互化公式得)8,0(),1,3(BA13252)81()03(||22AB方法一：转换成直角坐标Ox)6,2(A2)2,8(B8方法二：利用三角形余弦定理连接ＡＢ，则362AOB132523cos82282||22ABOx)6,2(A2)2,8(B8推广到一般情形：)0,0)(,(),,(212211BA则A，B两点间距离为)cos(2||21212221AB例2把下列点的直角坐标化为极坐标：);2,6()1(P例2把下列点的直角坐标化为极坐标：);2,6()1(P解：由互化公式得,22)2()6(223362tan?又点P在第一象限，得6因此点P的极坐标是)6,22();2,6()2(Q);2,2()3(R,22)2()6(223362tan又点Q在第三象限，得67因此点Q的极坐标是)67,22();2,6()2(Q解：(2)由互化公式得);2,2()3(R,2)2()2(22又点R在第四象限，得47因此点R的极坐标是)47,2(122tan(3)由互化公式得课堂练习在极坐标系中,已知三点判断M,N,P三点是否在一条直线上.课堂练习在极坐标系中,已知三点判断M,N,P三点是否在一条直线上.解：由互化公式得M,N,P三点的直角坐标系分别为)3,3(),0,2(),3,1(PNM由此得NPMN)3,1(所以M,N,P三点在一条直线上.),32,8(),611,4(),2()2,6()15,0()2,2(和练习：，化成直角坐标；化成极坐标。2.把点P的直角坐标）1.把点M的极坐标),32,8(),611,4(),2()2,6()15,0()2,2(和练习：，化成直角坐标；化成极坐标。2.把点P的直角坐标)0,2(),2,32(),34,4(解（1）由极坐标化为直角坐标的公式：得直角坐标分别为.sin;cosyx）1.把点M的极坐标),32,8(),611,4(),2()2,6()15,0()2,2(和练习：，化成直角坐标；化成极坐标。2.把点P的直角坐标)0,2(),2,32(),34,4(解（1）由极坐标化为直角坐标的公式：得直角坐标分别为.sin;cosyx)23,15(),47,22(),611,22(解（2）由直角坐标化为极坐标的公式：得极坐标分别为）xyyxtan;2221.把点M的极坐标33.4的直角坐标方程是sin2cos4.极坐标方程所表示的曲线是33.4的直角坐标方程是)(,tantan043yxyxyxy即解：sin2cos4.极坐标方程所表示的曲线是的圆。半径为为圆心，这是以点即化成直角坐标方程为＝得不恒等于零解：因给定的25211452112222222),()()(cossin,yxxyyxA.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线7.极坐标方程342sin所表示的曲线是（）)4,2(28.以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是())cos(sincossin)cos(sin2)cos(sin2B.C.D.A.6.极坐标方程sincos220表示的曲线是_______。A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线7.极坐标方程342sin所表示的曲线是（）)4,2(28.以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是())cos(sincossin)cos(sin2)cos(sin2B.C.D.A.BC6.极坐标方程sincos220表示的曲线是_______。抛物线13cos2BA,AB5.若两条曲线的极坐标方程分别为与,它们相交于两点,求线段的长．，13cos2BA,AB5.若两条曲线的极坐标方程分别为与,它们相交于两点,求线段的长．1221xy解：由得，22cos()cos3sin,cos3sin32230xyxy2222130xyxyxy由13(1,0),(,)22AB得221310322AB课堂小结：1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入再化简即可2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方程化成ρcosθ，ρsinθ和ρ2的形式,再分别替换成x，y，x2+y2，有时要两边先乘以ρ；cos3sin例4、求曲线的直角坐标方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例题讲解cos3sin0322yyxx例4、求曲线的直角坐标方程）（两边同乘以解：cos3sin2222cos;sinxyxy；新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例题讲解小节：1、极坐标化为平面直角坐标2、平面直角坐标化为极坐标小结极坐标与直角坐标的互化公式sincosyxxyyxtan222),(M),(yxM20且要依点所在象限决定