【2017参考】金版教程2016高考数学理二轮复习课件2-3-1 函数与方程思想

第二编考前冲刺攻略第三步数学思想与方法第一讲函数与方程思想1函数与方程思想的含义(1)函数思想函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．类型一类型一求最值或参数的范围LEIXING例1[2015·山东高考]设函数f(x)＝3x－1，x1，2x，x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)审题过程切入点据已知写出f(f(a))的表达式．关注点据a的不同取值范围转化方程．解析由题意知，f(a)＝3a－1，a12a，a≥1.由f(a)1，解得a23.所以f(f(a))＝3fa－1，fa12fa，fa≥1＝33a－1－1，a2323a－1，23≤a＜122a，a≥1故当a23时，方程f(f(a))＝2f(a)化为9a－4＝23a－1，即18a－8＝23a.如图，分别作出直线y＝18x－8与函数y＝23x＝8x的图象，根据图象分析可知，A点横坐标为23，故a23不符合题意．当23≤a1时，方程f(f(a))＝2f(a)化为23a－1＝23a－1，显然方程恒成立．当a≥1时，方程f(f(a))＝2f(a)化为22a＝22a，显然方程恒成立．所以a的取值范围是23，＋∞.四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．模拟演练1已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．解(1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3，令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.模拟演练2如果方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，则a的取值范围为________．解析把方程变形为a＝－cos2x＋sinx.设f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈0，π2.显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝sinx＋122－54，且由x∈0，π2知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．(－1,1]类型二求最值或参数的范围LEIXING例2记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝()A.34B．1C．3D.72审题过程切入点函数y＝x＋1，y＝x2－x＋1，y＝－x＋6的图象．关注点max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}的含义．解析在同一坐标系内画出函数y＝x＋1，y＝x2－x＋1，y＝－x＋6的图象．如图所示：min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图象为深色部分，即为取在下方的图象部分，则max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}为图象中的最高点的纵坐标．由y＝x＋1y＝－x＋6，可得y＝72.解决图象交点及方程根等问题的方法函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．模拟演练3设函数f(x)＝x3－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析解法一：因为函数f(x)＝x3－12x－2的定义域为R，所以函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线．又f(0)＝0－12－2＝－40，f(1)＝1－121－2＝－10，f(2)＝23－120＝70，f(3)＝27－121＝26120，f(4)＝43－122＝63340，所以f(1)·f(2)0，故x0所在的区间是(1,2)．解法二：由f(x)＝x3－12x－2＝0得x3＝12x－2，画出函数y＝x3和y＝12x－2的图象，如图所示．观察图象可知两个函数图象交点的横坐标在(1,2)内．类型三函数与方程思想在不等式中的应用LEIXING例3[2015·北京高考]已知函数f(x)＝ln1＋x1－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)2x＋x33；(3)设实数k使得f(x)kx＋x33对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．审题过程切入点利用导数的几何意义求得曲线在该点处的切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；关注点方程与函数思想应用．解(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f′(x)＝11＋x＋11－x，f′(0)＝2.又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.(2)证明：令g(x)＝f(x)－2x＋x33，则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝2x41－x2.因为g′(x)0(0x1)，所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．所以g(x)g(0)＝0，x∈(0,1)，即当x∈(0,1)时，f(x)2x＋x33.(3)由(2)知，当k≤2时，f(x)kx＋x33对x∈(0,1)恒成立．当k2时，令h(x)＝f(x)－kx＋x33，则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝kx4－k－21－x2.所以当0x4k－2k时，h′(x)0，因此h(x)在区间0，4k－2k上单调递减．当0x4k－2k时，h(x)h(0)＝0，即f(x)kx＋x33.所以当k2时，f(x)kx＋x33并非对x∈(0,1)恒成立．综上可知，k的最大值为2.不等式问题的处理方法在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．模拟演练4对于c0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．解析设2a＋b＝t，则2a＝t－b，由已知得关于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解．故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤85c，所以|t|max＝210c5，此时c＝58t2，b＝14t，2a＝t－b＝3t4，所以a＝3t8.故3a－4b＋5c＝8t－16t＋8t2＝81t2－1t＝81t－122－2≥－2.－2模拟演练5若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3解析∵x2＋ax＋1≥0，即a≥－x2－1x＝－x＋1x.当0x≤12时，g(x)＝－x＋1x递增，g(x)max＝g12＝－52，故a≥－52.类型四函数与方程思想在数列中的应用LEIXING例4[2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.审题过程切入点根据条件求等差数列、等比数列中的基本量，再求通项公式；关注点错位相减法求和．解(1)由题意有，10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2，或a1＝9，d＝29.故an＝2n－1，bn＝2n－1，或an＝192n＋79，bn＝9·29n－1.(2)由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．模拟演练6已知数列{an}的首项a1＝4，前n