量子信息学引论第12讲

清华大学2012.12.5IntroductiontoQuantumInformationScience第12讲量子信息学引论1考试时间：2010年12月29日方式：开卷地点：待定去年考题上传网络课堂第七章量子计算机的物理实现本章采用实验中已经成功实现的例子，讲解量子计算机的一般设计原则与物理实现的满意判据。7.1指导原则7.2量子计算的条件7.3简谐振子量子计算机7.4光学光子量子计算机7.5光学腔量子电动力学7.6离子阱7.7核磁共振7.8其它实施方案3开场白•实验上实现量子线路，量子算法和量子通信系统极其具有挑战性。•本章探索一些指导原则和实现量子信息处理器件与系统的物理模型。•简要描述实现量子计算的物理装置，决定其动力学的Hamiltonian，控制系统执行量子计算的办法，及其主要缺点。•总结与量子计算和量子信息有关的概念，使我们能同时欣赏其实验挑战和理论潜力。47.1指导原则•量子位要有稳固的物理表示。•要能选择一个系统，使得量子位在其中可按预定步骤演化。•必须能把量子位制备成某些特定的初态。•要能测量系统的最终输出态。5问题•以上要求往往是相互冲突的。•问题不是如何制作一个量子计算机，而是能够把一个量子计算机做成多好。6量子噪声与消相干•在理解一个特定的量子计算机的实现方法时，关键概念是量子噪声(quantumnoise)，有时称为消相干(或退相干:decoherence)。7图7.1.退相干时间,操作时间和最大操作数•此表中,根本上不同的量子位只有三类:自旋(核自旋,电子自旋,离子阱),电荷(Au,GaAs,量子点),光子(光学腔,微波腔).87.2量子计算的条件7.2.1量子信息的表示7.2.2酉变换的性能7.2.3制备基准初态7.2.4测量输出结果9量子计算的基本要求(1)具有鲁棒(robustness)的量子位来代表量子信息。(2)具有执行酉变换的一个普适集。(3)能够制备一个基准的初态。(4)能够测量输出结果。10实现量子计算的DiVinenzo条件117.2.1量子信息的表示•量子位是一个两能级量子系统。•作为量子位代表的关键:可访问的状态数应为有限的。•为了使消相干最小,一般需要某种对称性。•对表示如果选择不当,则引起消相干。12单个量子位的优值对于单个量子位,其好坏的判据为其中任意叠加态的最短寿命。137.2.2酉变换的性能•封闭的量子系统根据其Hamiltonian进行酉演化。•但是,为了执行量子计算,必须能够控制Hamiltonian,使其能从一个酉变换普适集中任选一个。14例子:用单自旋表示的单量子位操作比如,一个单自旋可根据Hamiltonian进行演化,其中为可经典控制的参数.通过适当操纵和,可以执行任意的单自旋旋转。(参见练习4.10)15练习4.10:旋转的X-Y分解16对单比特的寻址•任意酉变换可由单自旋运算和控制非门组成•要实现量子计算，必须能够对单个比特进行独立的操作。17酉变换的两个重要的特性(1)最小可达到的保真度F(fidelity)。(详见第9章)。(2)执行量子逻辑门(如:单量子位旋转或CNOT门)所需的最长时间。187.2.3制备基准初态•只需能够以高的逼真度(或保真度:fidelity)制备一个特定的量子态,因为一个酉变换能把它转成任意其它需要的输入态。•如:|00000•有时是困难的。19制备基准输入态的优值(1)初态能制成给定状态的最小逼真度。(2)初态的熵(或:平均信息量,entropy)。20熵(或:平均信息量)entropy•熵是一个重要概念。•例如,很容易以高逼真度制备状态但是,这对于量子计算是无用的状态,因为它在酉变换下不变!•理想的输入态是一个纯态,具有零熵。•具有非零熵的输入态减少了从输出结果取得答案的能力。217.2.4测量输出结果•把测量考虑成把一个或多个量子位耦合到一个经典系统,使得一段时间后,量子位的状态由经典系统指示出来。•量子计算测量过程的一个重要特征是波函数的塌缩,它描述了当执行一个投影测量时发生了什么。22强测量和弱测量•测量有强测量和弱测量之分。•强测量:投影测量有时也称强测量,要求量子与经典系统之间的耦合大,且可开关,不需要时,测量不应发生;否则,它们能成为一个消相干过程。•强测量并不是必需的。•弱测量:在执行时是连续的且永不会关掉。与测量耦合相比,可用很短的时间完成计算操作。也可采用量子计算机的大系综来实现（NMR)。23测量能力的优值:信噪比•测量能力的优值是信噪比(SNR=SignaltoNoiseRatio)。它决定了测量的有效性,也说明了从测量设备与量子系统的耦合得到的内在信号的强度。24信噪比(S/N)越大，说明混在信号里的噪声越小；单位用分贝（dB）数表示。7.3简谐振子量子计算机7.3.1物理装置7.3.2Hamiltonian7.3.3量子计算7.3.4缺点25研究简谐振子量子计算机的目的•先考虑一个非常基本的系统:简谐振子,并讨论它为何不能成为一个好的量子计算机。•此例用到的形式化体系,也可作为研究其它物理系统的基础。267.3.1物理装置•一个简谐振子(simpleharmonicoscillator)的例子:一个处于抛物线势阱中的粒子。•经典情形下,系统总能量是一个连续的参数。•量子情形下,系统与外部世界的耦合变得很弱,系统总能量只能取一系列分立值。27简谐振子与量子计算的关系•一个简谐振子的分立能量本征态的集合,可用|n,n=0,1,…….来标签。•与量子计算的关系:从这些能量本征态中可取出一个有限子集来代表量子位。•只要允许系统随时间演化,既可实行酉变换。•下面,研究系统Hamiltonian,然后讨论如何实施简单的量子逻辑门,如CNOT。287.3.2Hamiltonian•处于一维抛物线势阱中的一个粒子,其Hamiltonian为:其中,p为粒子动量算符,m为质量,x为位置算符,与势阱深度有关。29Hamiltonian:产生和湮灭算符形式•定义湮灭算符和产生算符如下:•Hamiltonian可被重写为:30零点能•零点能贡献了一个不可观测的整体相位因子,可从目前的讨论中略去。•注意:H中的和项,在酉变换中为一指数相位因子。31H本征态的性质•H的本征态|n,n=0,1,….具有性质:32练习7.1:利用x和p不对易的事实,即来证明33H本征态的时间演化•H本征态的时间演化由解Schrodinger方程得到,可发现状态随时间演变成:34Box7.2量子谐振子Thequantumharmonicosillator35Box7.2量子谐振子(续)36xExxmdxxdmnnn22222212进一步假设(1)任意状态都可被完美地制备出来。(2)系统的状态可被投影测量。(3)其余方面,系统与外界无相互作用,因而系统是完全封闭的。377.3.3量子计算•用上面描述的简谐振子如何进行量子计算?•表示量子位的最自然的选择,是本征态|n。•这种选择允许我们用下面的方法执行CNOT门。38CNOT门在两个量子位上执行的映射•注意：下标Ｌ用来清楚地区分“逻辑（Logical)”态与谐振子的基矢态|n。39用简谐振子的基矢态对双量子位进行编码40系统演化得到的变换•假设t=0时,系统开始处于由这些基矢态(|0,|1,|2,|4)张成的状态。•只是让系统演化时间(即半个周期)这导致能量本征态进行了变换41tCNOT门实现了吗?•从以上演化可知:|0,|2,|4不变，|1变成-|1。•这就实现了CNOT门。42物理系统能执行酉变换U的充要条件•由H定义的系统的时间演化算子应具有与U几乎一样的本征值谱.可以直接安排一个编码来从谐振子的时间演化算子得到同样的本征值谱。•注意:CNOT门的本征值只是+1与-1，所以，它容易实现。43谐振子计算机的能力•谐振子的Hamiltonian可被微扰,从而实现几乎任何本征值谱。•并且,任意数量的量子位都可通过把它们映射到系统的无穷多个本征态上来代表。•这意味着,可能在一个谐振子中实现一个完整的量子计算机。447.3.4缺点•对于某个特定的量子计算，我们可能并不知其量子计算酉算子的本征值谱。例如：相位估计算法。•不能级联。•忽视了信息数字化表示的原则。2n维Hilbert空间映射到单谐振子，有能量的状态。如用n个双能级量子比特，只需。45n2n谐振子量子计算机总结467.4光子量子计算机•7.4.1物理装置•7.4.2量子计算•7.4.3缺点477.4.1物理装置•单个光子是什么？•它们如何能表示量子位？•描述用来操纵光子的实验元件（移相器，分束器，非线性光学Kerr介质）的经典行为。48用光子表示量子位•较差的方式：一个腔中含有０个或1个光子的叠加，用此状态来代表一个量子位。49双轨表示(dual-rail)考虑两个腔，其总能量为；把一个量子位的状态取作光子或者在一个腔中，或者在另一个腔中(|01或者|10),一个叠加态可写作：50单光子的空间模式（mode)•实际中，将集中于以波包形式在自由空间移动的单光子，而非在一个共振腔中。•此时，可以想象成有一个腔在与波包一起运动。在我们的量子位状态中，每个腔对应一个不同的空间模式。51产生单光子的一个方案•在实验室中，产生单光子的一个方案是衰减激光的输出。•激光输出的一个状态，称作相干态，定义为：其中|n为一个n-光子能量本征态。•相干态是量子光学的重要研究主题，它是从受驱振子中自然辐射出来的。52弱相干单光子源•当激光被衰减后，一个相干态变成一个更弱的相干态。•而一个弱相干态可以高概率制成仅含一个光子。•例如，对于，我们得到状态：•缺点：两个这样的单光子源难以同步。53用参量下转换实现更好的同步性parametricdown-conversion•把频率为的光子送到一个非线性介质中，如KH2PO4,来产生频率为的光子对时,动量也守恒，所以，当一个光子被探测到时，也知道另一个单光子存在．•把此装置与一个门耦合起来，仅当一个单光子被探测到时，门才打开．•通过适当延迟多个下转换源的输出，原则上可得到多个单光子同步传播．54图7.2.产生单光子的参量下转换55Parametricdown-conversionschemeforgenerationofsinglephotons。单光子探测•量子效率•响应带宽（时间响应率）•噪声•暗计数•抖动操纵单光子态的三个重要器件•镜子：用高反射率的镜子来反射光子，改变其空间传播方向（通常损耗小于0.01%)。•移相器（phaseshifter)。•分束器（beamsplitter)。57移相器•移相器是一个透明的介质片，其折射率n与自由空间的折射率不同。•在这样一个介质中，传播距离Ｌ对光子的相位改变为，其中，为真空中的光速。•因此，一个通过移相器传播的光子经历的相移与经过自由空间相同距离的光子相比为：58光的传播平面光波0(,)expVrtAitr光在介质中传播的色散关系0022kncuTcn分束器•分束器：是一个部分镀银的玻璃，它把入射光反射一部分R，透过一部分1–R。•在实验室中，一个分束器常用两个棱镜制备，把一个薄金属层夹在两个棱镜之间。•可以把分束器的角度定义为注意，该角度把反射部分的量进行了参数化，与分束器的物理取向不一定有关系。60分束器的输入－输出关系此器件的两个输入与两个输出的关系为：其中，经典地，我们认为a和b是在两个端口的电磁场辐射．对于50/50分束的特例，见下图。61图7.3.光学分束器示意图•注意：右边的分束器为左边的逆（两者用图中的点来区分）。62Schematicofanopticalbeamsplitter光学Kerr效应•非线性光学提供了最后一个有用的元件。•光学Kerr效应：一个材料其折射率n与穿过它的光的总强度Ｉ成正比，63光学Kerr效应的作用•实验上，与光学Kerr效应相应的行为是，当两束等强度的光几乎共传播通过一个Kerr介质时，每束光