量子信息学引论第6讲

清华大学2012.10.24IntroductiontoQuantumInformationScience第六讲量子信息学引论1简单的回顾和本章引言量子计算的基本要求量子信息处理器概略图3量子计算的基本要求•Scalablequbits（可拓展的量子比特）•Universalquantumgate（通用量子门）•single-bitgateandtwo-qubitgate•Initialization（初始化）•preparationof|0state•Readout（读出，测量）•|0+|10withprobability||21withprobability||2•Longdecoherencetime（长的相干时间）•muchlongerthangateoperationtimeDiVincenzo第四章量子线路4.1量子算法4.2单量子比特操作4.3受控操作4.4测量4.5普适量子门4.6量子计算线路模型总结4.7量子系统模拟4蓝色为本节所讲的内容本章的主要内容本章主要思想•解释量子计算的基本模型：量子线路模型。•演示存在一个普适门的集合，用这些量子门就可以实现任意量子计算。•消化实现量子线路的基本要素。54.1量子算法•量子计算机的好处是什么?有些问题用经典计算机是无法解决的。主要有两个量子算法：1.Shor的量子复立叶变换运算速度得到指数级的增长2.Grove的量子搜索算法运算速度得到平方的增长6图4.1主要量子算法及其联系和应用为什么好于经典的量子算法这么少?74.2单量子比特操作•单量子比特：•量子比特运算必须保持这一标致，因此单量子门是2X2的酉阵22011abab其中：8图4.2常用单量子比特门名称符号酉阵9一些分解21,2HXZSTT门为什么叫p/8门？因为如888exp0exp0expiTii11回忆量子比特的几何表示,Bloch球面01expcos0sin122iie和确定了三维单位球面上的一个点。这个球面通常称作Bloch球面。Bloch矢量12矢量称为Bloch矢量。=(sincos,sinsin,cosx,yz12sin02cosieZYXIIzyxzzyyxx2121课外作业4.1:求出三个泡利矩阵的本征矢量，然后把每一个本征矢量在Bloch球面上对应的点找出来。如:Z矩阵的本征矢量为|0和|1，则对应于01把常用单量子比特门的距阵表示换为外积表示，如课外作业：量子比特门的外积表示0110Yii0110X0011Z常用单量子比特门和线路的符号承载n量子比特的线n承载经典比特的线承载量子比特的线（时间从左到右）投影到|0和|1上量子比特经典比特n量子比特测量运算Pauli矩阵指数化,得到绕x,y,z轴的旋转算子2cos2sin2sin2cos2sin2cos2iiXiIeRXix2cos2sin2sin2cos2sin2cos2YiIeRYiy222002sin2cosiiZizeeZiIeR16绕x,y,z轴的旋转算子的恒等证明2212000222nmmiXxnmmReiXiXiXUsingrelation22m+1,XmXIXWehave2211100(1)1cossin2222mmmmxmmRiXiX通过练习4.2来证明旋转算子.)sin()cos(expAxiIxiAxExercise4.2:LetxbearealnumberandAamatrixsuchthatA2=I.ShowthatUsethisresulttoverifyEquations(4.4)through(4.6)18其中表记Pauli矩阵的三个矢量分量(X,Y,Z)。若为3维实单位矢量，则得绕轴转角的算子为（4.8式）:旋转算子的推广zyxnnnn,,ˆnˆZnYnXniIniRzyxn2sin2cos2ˆexpˆ19练习4.5证明，以此证明4.8式20In2ˆ2222ProofˆHere,weuserelations,e.g.,0xxyyzzxxyyzzxyzxyxyyxnnnnnnnnnnIInn练习4.5证明，以此证明4.8式21In2ˆZnYnXniIniRzyxn2sin2cos2ˆexpˆ对任意酉算子的表达对一个量子位施加任意酉算子，可用很多形式写成旋转的组合加一个总体相位。下面的定理提供了一个方法，表达任意的单量子位旋转。22设U是对单量子位的酉操作,则存在实数和,使得:定理4.1(单量子位的Z-Y分解),,.zyziRRReU23定理4.1的证明2)2/2/(2)2/2/(2)2/2/(2)2/2/(cossinsincosiiiieeeeU24证明：U是酉的，U的行和列是正交的，于是可知存在下面四个实数使得：从旋转矩阵和矩阵相乘可得到前面的分解定理4.1的用途•在于下面的推论。•它在受控多量子位操作中很有用。25设U是一个单量子位上的酉门.则存在单量子位上的酉算子A,B,C,使得ABC=I且推论4.2AXBXCeUi其中为某个总相因子。下面证明用到26yyXRXR推论4.2的证明此推导给出了A,B,C的具体形式27作业4.1,4.3,4.4,4.7,4.12,4.13,4.144.3受控操作•受控操作：如果A成立则进行B操作。•目标：理解对单量子比特的任意受控U门。即，只采用单量子比特运算和CNOT门，如何实现任意单量子比特受控-U(C-U)操作。•策略：将U根据推论4.2进行分解。29受控非门（C-NOT）门的线路表示30符号距阵表示CNOT的外积表示：CNOT000001011110101100,01,10,11基矢的排列顺序：练习：上面四个基矢的距阵表示以CNOT对它们的作用图4.4受控-U(Controlled-U)操作31U是单量子比特上的任意酉运算，是双量子比特的运算。如果控制比特置位（是|1），则U作用到目标比特。否则目标比特不变cctctcUt运算规则：目标量子比特控制量子比特CNOT中：U=X，即受控的X门。练习4.1732用一个控制Z门和两个H门实现控制非门。1000010000100001CZHHZCNOT=规则：上前下后，如：CNOTIHCZIH控制非门的基变换HHHH=10121012新基控制单量子比特U操作•如何只用单量子比特操作和CNOT门实现单量子比特的控制U操作？•利用即可完成。AXBXCiUexp图4.5受控相移门与双量子位的等效线路000001011010ie1111ie35第一步：controlledphaseshiftgate图4.6对单量子位门实现C-U操作IABCAXBXCiU,exp，A，B和C满足36图4.7表示Cn(U)操作的线路例子当n个控制位都为1时，对k位实施U操作。其中Cn（U）表示n个控制位。U为对k个量子位的酉操作。37图4.8执行C2(U)门的线路21iXIiV执行C2(U)门的线路,V是满足V2=U的酉算子。特例对应于Toffoli门。38Toffoli门的真值表和线路表示39实现Toffoli门的意义•一位与两位的经典可逆门不足以实现Toffoli门，或进行普适计算。•而在量子情形下，单位和双位量子门足可实现Toffoli门，因而可实现普适计算。40任意的受控酉操作•对于任意的受控酉操作,都可以在任意好的近似下，只用H,S,T和CNOT门来构成。•因为Toffoli门非常有用，下面我们来看Toffoli门如何用这些门来构成。41用H,phase,CNOT与门实现Toffoli门当前无法显示此图像。42n=5分三个阶段:各控制位AND,C-U,反运算使得辅助位置0.实现Cn(U)操作的网络43|0|0|0|0图4.11以控制位置0为条件的受控操作44第一个量子比特为0时，第二量子比特翻转图4.12受控-U(C-U)操作及其等效线路45图4.13具有多个目标位的控制-非门46•表示当控制位置1时，所有标的量子位都翻转，否则不变。这在构造经典函数，如置换(permutation)，或量子纠错线路的编码，解码器时很有用。作业4.17,4.18,4.31总结单量子位操作，受控操作，测量48本讲的主要内容CNOTCUZCP1000010000100001本讲结束谢谢大家!49