量子信息学引论第7讲

清华大学2012.10.31IntroductiontoQuantumInformationScience第七讲量子信息学引论1第四章量子线路描述进行量子计算所需的基本元件和基本操作4.1量子算法4.2单量子位操作4.3受控操作4.4测量4.5普适量子门4.6量子计算线路模型总结4.7量子系统模拟2前节课总结单量子位操作，受控操作3CNOTCUZCP1000010000100001前节课总结Toffoli门（可逆的逻辑门），为什么要可逆？（下一节）1、连续用两次Toffoli门到一组量子比特回到了其本身，因此是可逆的。2、构成了普适的逻辑门。3、任何的经典电路都可被等价地用Toffoli门所模拟。4、不可以用与非，非，与等逻辑门构造出Toffoli门。第一个实验，PRL102,040501(2009):Trappedions4.4测量•用“仪表”符号表示在计算基矢态的投影测量。•在量子线路的理论中,不用特殊的记号来表记更一般的测量,因为它能用采用辅助位的酉变换和紧跟的投影测量来表示。•推迟测量原则。•隐含测量原则。5用“仪表”符号表示在计算基矢态上的投影测量图4.14对单个量子位的投影测量。这里没有用测量结果来做任何事。但在更一般的量子线路中，可用测量结果作为条件来改变后面的量子线路部分。用双线表示对这种经典信息的使用。6推迟测量原理总能够把测量从量子线路的中间阶段移到结尾；如果在线路的某部分用到了测量结果，则经典的条件操作可由带条件的量子操作(即量子受控操作)来代替。注意：经典的条件操作可用量子的条件操作来代替。Principleofdeferredmeasurement7把量子传态线路的测量放在结尾进行图4.158原来测量放在结尾进行9（回顾）两个量子位的Bell态:.2,1)1(,0.21001;21100;21001;2110011100100yyxxy10（回顾）产生Bell态的量子线路2110002100011（回顾）量子传态•Alice的任务：给Bob传送一未知量子位。•Alice的困难：–只能传送经典信息–量子力学原理决定不能测量以确定量子态。–即使知道量子态，也无法用有限时间精确描述。•Alice的法宝：–和Bob共有一个EPR对12（回顾）传输一个量子位的量子线路00000101,(0011),210(0011)1(0011)213（回顾）量子传态的过程推导:)0110(1)1100(0211)1100(1)1100(021014（回顾）量子传态的过程推导:)0110)(10()1100)(10(21)0110(1)1100(0212115（回顾）量子传态的过程推导:].0111101001011000[21:22重组16（回顾）Alice的测量结果与Bob量子位的状态的量子位状态测量后测量后得到的结果BobAlice01)11(1110)00(1001)01(0110)00(003333推迟测量原则的结果21[00010110210011110].21[00010101210011101].推迟测量原理的一个推论当被测量子比特是一个量子门的控制比特时，则测量和量子门可以交换，即UU==U隐含测量原则不失一般性,在量子线路结尾的未终止的量子线(即,未测量的量子比特)都可假定为已被测量。Principleofimplicitmeasurement19这个假定的测量得不到关于其系统的具体信息。如何理解“隐含测量原则”?通过练习4.3220220101TrTrPPTrPPTr证明：01PPI我们用了关系：测量的一般特征•测量的作用是经典世界与量子世界的接口。•测量一般是不可逆操作，它破坏量子信息并用经典信息来取代它。•为了使测量成为可逆的，则它必须不揭示被测量子态的任何信息。214.5普适量子门Universalquantumgates4.5.1两级(two-level)酉门是普适的4.5.2单量子位门与CNOT门是普适的4.5.3普适操作的一个离散集4.5.4近似任意的酉门一般是困难的4.5.5量子计算复杂性22普适门的集合•什么是普适（通用）门？•经典线路中可由一组有限个逻辑门来计算任意函数。称这一组逻辑门为普适的。例如：AND，OR，NOT•对于量子线路，如果任意的酉操作都可用一个集合中的门构成的线路来近似，且可达到任意精度，则称此集合中的门对于量子计算是普适的。•可以证明用H，CNOT，S，T门以任意精度近似任意酉操作。23构建普适门的三个步骤任意的酉算子可以精确地表示为一些酉算子的乘积，其中每个酉算子非平庸地只作用在一个由两个计算基态张成的子空间上。任意酉算子可以用单量子位门和CNOT门精确描述。单量子位操作可以用Hadamard，相位门和p/8门近似到任意精度。构建普适门任意的酉算子可以用仅非平凡的作用在由两个计算基态张成的子空间的酉算子的乘积精确描述任意酉矩阵可以用单量子位门和CNOT门精确描述单量子位操作可以用Hadamard，相位门和p/8门近似到任意精度。25两级(two-level)酉门怎样把U分解成两级(two-level)酉门的乘积，即，只非平凡地作用在两个或更少的矢量分量上的酉矩阵。以三维矢量空间的3x3矩阵为例：10000dcbaAzdycxbyaxzyxdcba10000A就是一个两级酉矩阵26下面的3x3矩阵都是两级酉矩阵27两级(two-level)酉门10000dcbadcba00100dcba00001两级酉门是普适的作用多维数空间的任意的U操作都可用两级酉矩阵来构造。那么一个作用在d维Hilbert空间上的U矩阵如何分解成两级酉矩阵的乘积？28分解d维酉门•我们可以找到两级酉阵，U1，…，Ud-1使得矩阵Ud-1Ud-2…U2U1U仅有最左上角的元素为1，第一行和第一列的其它元素均为零。•对于作用于d维空间的U,29dddddaaaaaaaaaU2111222111211两级酉门是普适的我们可以重复上述操作，最后任意的dd维酉阵U，可以表示为U=V1V2…Vk其中Vk是两级酉矩阵，k(d-1)+(d-2)+…+1=d(d-1)/23011121111122100001ddddddbbbbUUUUUU如何分解成两级酉矩阵的乘积?jfchebgdaU找到两级酉矩阵，U1，U2，U3，使得：U3U2U1U=I321UUUU则：31如何构造U1用下述方法来构造U1：如果b=0，则设1000100011U10000222222*22*1baababbabbaaU如果b0，则设：U1是两级酉阵32如何构造U1这样就得到：33**222212222000001abababadgadgbaUUbehehababcfjcfj如何构造U2用类似方法来构造U2：如果c’=0，则设10001000*2aU222222*22*200100caacaccaccaaU如果c’0，则设：U2是两级酉阵34jfhegdUUU00112因为U，U1，U2均为酉阵，所以U2U1U为酉。因第一行模必须为1，故d”=g”=0。jfheUUU0000112如何构造U235可以验证U3U2U1U=I，因此即把U分解成两级酉矩阵的乘积。最后设：36****300001jhfeU如何构造U3123UUUU乘积中两级酉阵的数目•对作用在n个量子位系统上的任意酉阵，可写成最多为2n-1(2n-1)个两级酉阵的乘积。37思考：为什么？提示：n个量子比特的任意酉阵的维数是多少？4.5.2单量子位门与CNOT门是普适的•前面说明作用在d维Hilbert空间上的任意酉阵可写成两级酉阵的乘积。•下面说明单量子位门与CNOT一起可实现作用在n个量子位的态空间上的任意两级酉矩阵。•合起来，单量子位门与CNOT门能用来实现作用在n个量子位上的任意酉变换，因而对于量子计算是普适的。38单量子位操作和CNOT门是普适的考虑两级酉矩阵仅非平凡的作用在|000and|111:U|000=a|000+b|111U|111=c|000+d|111U|x=|xfor|x|000and|111dbcaU00000001000000001000000001000000001000000001000000001000000039目前的任务•利用单量子位门和CNOT门来实现U。其中是U的一个子矩阵：•需要利用Gray码。U~dcbaU~U~40Gray码(Graycode)•设我们有两个不同的二进制数，s和t。则我们可以找到一系列二进制数，从s开始，到t结束，列表中相邻的两个数只有一位数字不同，这就是Gray码。•比如，对于s=101001和t=110011，我们有Gray码：11001111000111010110010141规则：相同的不变Gray码(Graycode)这里|g1到|g4是Gray码。对于n量子位的基态|s和|t，一般来说总可以在|s=|g1和|t=|gm之间找到mn+1个Gray码，因为|s和|t最多有n个位置不同。ABC|g1000|g2001|g3011|g4111对于|000和|11142实现U的量子线路的基本思想设g1到gm为连接s和t的Gray码的元素，g1=s，gm=t。(1)执行一系列的门来进行状态变换。(2)执行一个受控-操作，目标量子位放在gm-1和gm不同的那个位上。(3)把第一阶段反过来，进行变换。这里的每一步都可用本章前面描述的操作来实现，最后的结果就是实现U运算。121...mgggU~121...gggmm43单量子位门和CNOT门实现任意U对于我们的例子，只需进行下列交换：|g1和|g2然后|g1和|g3,再对|g3和|g4不同的那一位（第一位）作为目标位做一个控制U操作。再把状态还原。|g1000|g2001|g3011|g4111交换控制-还原U~U~ABC|g2000|g3001|g1011|g411144单量子位门和CNOT门是普适的•单量子位门和CNOT门实现了量子计算的一个普适集。45效率如何?作用在n个量子位上的任意酉算子都可用个单量子位门与CNOT门来实现。这个构造没有提供有效的量子线路。在4.5.4节中说明，此构造是近于优化的，因为存在需要指数个门来实现的酉操作。因此，为寻找快速的量子算法，我们需要一个不同于这种构造的途径。nnnOnO4222246本讲总结•普适性•采用离散集的普适性•并非所有的酉操作都可有效地实现47谢谢大家!