空间向量及其运算(理)

第七章立体几何第六节►►空间向量及其运算(理)读教材·抓基础研考点·知规律拓思维·培能力高考这样考从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在高考题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等.备考这样做1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算．2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积.回扣教材扫除盲点D读教材·抓基础课本导读1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的________或________．(2)相等向量：方向________且模______的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或_______，那么这些向量叫做_________或__________，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一_____的向量叫做共面向量．大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).疑点清源1．利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错．因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零．基础自评1．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→解析A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB→＞CD→这种写法．D对．∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝－CD→，∴AB→与CD→共线，故AB→∥CD→正确．答案D2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE→＝AA1→＋xAB→＋yAD→，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝12C．x＝12，y＝12D．x＝12，y＝1解析如图，AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)．答案C3．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析①正确．②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确．答案B4．在四面体O—ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．解析如右图，OE→＝12OA→＋12OD→＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.答案12a＋14b＋14c5．已知ABCD—A1B1C1D1为正方a体，①(A1A→＋A1D1→＋A1B1→)2＝3A1B1→2；②A1C→·(A1B1→－A1A→)＝0；③向量AD1→与向量A1B→的夹角是60°；④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为|AB→·AA1→·AD→|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A1A→＋A1D1→＋A1B1→)2＝3A1B1→2＝3，故①正确；②中A1B1→－A1A→＝AB1→，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1→与A1B→的夹角为120°，故③不正确；④中|AB→·AA1→·AD→|＝0.故④也不正确．答案①②探究悟道点拨技法Y研考点·知规律题型一空间向量的线性运算【例1】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示AC1→，AG→.听课记录AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝a＋b＋c.AG→＝AA1→＋A1G→＝AA1→＋13(A1D→＋A1B→)＝AA1→＋13(AD→－AA1→)＋13(AB→－AA1→)＝13AA1→＋13AD→＋13AB→＝13a＋13b＋13c.【规律方法】①通过以上表示可以看出AC→1＝3AG→，即证明：A，G，C1三点共线．G为AC1的三等分点．②解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算．变式思考1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求x，y，z的值．解(1)∵AB→＋AD→＝AC→，∴A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.(2)∵EO→＝ED→＋DO→＝23D1D→＋12DB→＝23D1D→＋12(DA→＋AB→)＝23A1A→＋12DA→＋12AB→＝12AB→－12AD→－23AA1→，∴x＝12，y＝－12，z＝－23.题型二共线定理与共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点．求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．听课记录(1)在△ABD中，EH为△ABD的中位线，EH綊12BD，同理FG綊12BD.∴EH綊FG，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知，BD∥EH，又∵EH⊂平面EG，BD⊄平面EG，∴BD∥平面EFGH.(3)对于空间任一点O，有OA→＋OB→＝2OE→，OC→＋OD→＝2OG→.又2OE→＋2OG→＝2(OE→＋OG→)＝2·2OM→＝4OM→，∴OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【规律方法】向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件，可用以证明点共(线)面．变式思考2如右图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明设C1B1→＝a，C1D1→＝b，C1C→＝c，易知B1C→＝c－a.又O是B1D1的中点，∴C1O→＝12(a＋b)，OD1→＝C1D1→－C1O→＝b－12(a＋b)＝12(b－a)．∴OD→＝OD1→＋D1D→＝12(b－a)＋c.若存在实数x，y使得B1C→＝xOD→＋yOC1→(x，y∈R)成立，则c－a＝x12b－a＋c＋y－12a＋b＝－12(x＋y)a＋12(x－y)b＋xc.∵a，b，c不共线，∴12x＋y＝1，12x－y＝0，x＝1，解得x＝1，y＝1.∴B1C→＝OD→＋OC1→，即B1C→，OD→，OC1→是共面向量．∵B1C⊄面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.题型三空间向量的数量积【例3】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB→，AC→为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，求向量a的坐标．题型三空间向量的数量积【例3】已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB→，AC→为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，求向量a的坐标．所以以AB→，AC→为邻边的平行四边形的面积S＝2×12|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝14×32＝73.(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2＋y2＋z2＝3，－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0.解得x＝1，y＝1，z＝1，或x＝－1，y＝－1，z＝－1.∴a＝(1,1,1)，或a＝(－1，－1，－1)．【规律方法】(1)本例将求平行四边形的面积问题转化为求三角形的面积问题，因此用向量的模求出边长，用数量积求出夹角的余弦值，进而求出夹角的正弦值．(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；②|a|＝a2；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.变式思考3已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE→⊥b？(O为原点)．解(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝02＋－52＋52＝52.(2)OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋tAB→＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE→⊥b，则OE→·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0.解得t＝95，因此存在点E，使得OE→⊥b，点E的坐标为E－65，－145，25.名师微博●两个原则——建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．●一个方法——利用向量法求解立体几何问题的一般方法利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题．另外，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础．●一个注意点——空间向量数量积计算的一个注意点空间向量的数量积的计算要充分利用向量所在图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时并不是漫无目的的，而要充分利用图形的特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．拓展提伸提高能力T拓思维·培能力规范答题系列利用空间向量解答立体几何问题1．此类问题通常与立体几何中的位置关系、距离等交汇命题来考查，考查利用向量方法证明平行、垂直以及求距离、空间角等问题．2．求解上述问题的突破口是建立适当的空间直角坐标系，把位置关系与对应向量之间的关系弄清楚，把空间位置关系翻译成向量的运算关系，通过向量的运算解答问题．【典例】(2013·辽宁卷)如右图，AB是圆的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面P