空间向量及其运算和空间位置关系

1.空间向量及其有关概念名称定义向量的夹角过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量OA、OB，则∠AOB叫作向量a、b的，记作，规定，〈a，b〉＝π2时，向量a、b垂直，记作，〈a，b〉＝0或π时，向量a、b平行，记作夹角〈a，b〉0≤〈a，b〉≤πa⊥ba∥b名称定义直线的方向向量若l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的．显然，与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量平面的法向量如果直线l垂直于平面α，那么把叫作平面α的法向量单位向量对于任意一个非零向量a，我们把叫做向量a的单位向量，记作a0.a0与a同向方向向量直线l的方向向量aa|a|2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得.a＝λb(2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝.把e1，e2，e3叫作这个空间的一个．λ1e1＋λ2e2＋λ3e3基底3．线性运算的运算律(1)加法交换律：；a＋b＝b＋a(2)加法结合律：；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(3)数乘向量分配律：；λ(a＋b)＝λa＋λb(4)向量对实数加法的分配律：；a(λ＋μ)＝λa＋μa(5)数乘向量的结合律：.λ(μa)＝(λμ)a4．空间向量的数量积(1)定义：空间两个向量a和b的数量积等于，记作.(2)运算律：①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝；③结合律：λ(a·b)＝．|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＋a·c(λa)·b(λ∈R)5．空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝，a2＝，a3＝(λ∈R)；λb1λb2λb3(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)；(3)a·b＝；a1b1＋a2b2＋a3b3(4)|a|＝a·a＝；a21＋a22＋a33(5)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b236．利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1，l2的方向向量v2.则l1∥l2⇔.l1⊥l2⇔.v1∥v2v1⊥v2(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l∥α⇔.l⊥α⇔.v⊥nv∥n(3)设平面α的法向量n1，β的法向量为n2，则α∥β⇔，α⊥β⇔.n1∥n2n1⊥n2[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN＝()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－12cD.23a＋23b－12c解析：显然MN＝ON－OM＝12(OB＋OC)－23OA.答案：B2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2解析：由a∥b⇒a＝mb即λ＋1＝6m，0＝m2μ－1，2＝2mλ，∴λ、μ可以是2，12.答案：A3．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.答案：C4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA＋14OB＋14OC＝12a＋14b＋14c.答案：12a＋14b＋14c5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(1AA＋11AD＋11AB)2＝311AB2；②1AC·(11AB－1AA)＝0；③向量1AD与向量1AB的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·1AA·AD|.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1AA＋11AD＋11AB)2＝311AB2＝3，故①正确；②中11AB－1AA＝1AB，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但1AD与1AB的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·1AA·AD|＝0.故④也不正确．答案：①②1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解．3．几何体中向量问题的解决，选好基底是关键．空间向量的线性运算[例1]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设AB＝a，AD＝b，1AA＝c，试用a，b，c表示1AC，AG.[自主解答]1AC＝AB＋BC＋1CC＝AB＋AD＋1AA＝a＋b＋c.AG＝1AA＋1AG＝1AA＋13(1AD＋1AB)＝1AA＋13(AD－1AA)＋13(AB－1AA)＝131AA＋13AD＋13AB＝13a＋13b＋13c.本例条件不变，设A1C1与B1D1交点为M，试用a，b，c表示MG.解：如图，MG＝1MA＋1AG＝－12(11AB＋11AD)＋13(1AD＋1AB)＝－12a－12b＋13(AD－1AA)＋13(AB－1AA)＝－12a－12b＋13b－13c＋13a－13c＝－16a－16b－23c用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为________．解析：∵OG＝OM＋MG＝12OA＋23MN＝12OA＋23(ON－OM)＝12OA＋23ON－23OM＝12OA＋23×12(OB＋OC)－23×12OA＝16OA＋13OB＋13OC∴x，y，z的值分别为16，13，13.答案：16，13，13空间向量的数量积的应用[例2]如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求向量1BA与1CB的夹角的余弦值；(3)求证：1AB⊥1CM.[自主解答](1)|BN|2＝BN·BN＝(BA＋AN)·(BA＋AN)＝|BA|2＋|AN|2＋2BA·AN＝2＋1＝3，∴|BN|＝3.(2)∵1BA·CB1＝(BA＋1AA)·(CB＋1BB)＝BA·CB＋BA·1BB＋1AA·CB＋1AA·1BB＝2·1·cos135°＋0＋0＋4＝3，又∵|1BA|2＝(BA＋1AA)2＝|BA|2＋2BA·1AA＋|1AA|2＝2＋0＋4＝6，∴|1BA|＝6.又∵|1CB|2＝(CB＋1BB)2＝|CB|2＋2CB·1BB＋|1BB|2∴cos〈1BA，1CB〉＝1BA·1CB|1BA||1CB|＝36·5＝3010，∴向量1BA与1CB的夹角的余弦值为3010.(3)证明：1AB·1CM＝(1AA＋AB)·(11CA＋1AM)＝1AA·11CA＋1AA·1AM＋AB·11CA＋AB·1AM＝0＋0＋1·2·cos135°＋2·22·cos0°＝0.∴1AB⊥1CM.1．求向量m和n的夹角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝m·n|m||n|求得．2．在向量性质中，|a|2＝a·a是向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题．2．(2013·沧州月考)已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC，(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；解：(1)c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝－12＋02＋22＝5∴cos〈a·b〉＝a·b|a||b|＝－1010.(3)由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0.∴k＝2或－52.利用空间向量证明平行或垂直[例3](2012·长沙模拟)已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[自主解答]依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．∵F为CD的中点，∴F32a，32a，0.(1)易知，AF＝32a，32a，0，BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a,0，－a)，∵AF＝12(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵AF＝32a，32a，0，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，∴AF·CD＝0，AF·ED＝0，∴AF⊥CD，AF⊥ED，即AF⊥CD，AF⊥ED.又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.3．(2013·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，2)，∴1OD＝(－1，－1，2)，又点B(2,2,0)，M(1,1，2)，∴BM＝(－1，－1，2)，∴1OD＝BM，又∵OD1与BM不共线，∴OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.∵1OD·1OB＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD·AC＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD⊥1OB，1OD⊥AC，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.[典例](2012·济宁模拟)在空间四边形ABC