空间向量法解决立体几何证明

利用空间向量解决立体几何问题数学专题二复习:2.向量的夹角:abOABab0ab，ab，向量的夹角记作:ab与ab||||cos,abab1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)axyzbxyz设121212xxyyzzcos||||ababab，121212222222111222xxyyzzxyzxyz4.向量的模长:2222||aaxyz(,,)axyz设3.有关性质:两非零向量111222(,,),(,,)axyzbxyz1212120xxyyzz0abab5.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使pOMabABAPppxayb空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，推论:一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把与直线平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是212121(,,)ABxxyyzzzxyAB2.平面的法向量与平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αnoxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=120xzy解得:2020xyzxyz得:1OA1OD由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),11(0,,)22PE依题意得DB(1,1，0)11(0,,)22DEDB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是二、立体几何中的向量方法——平行关系设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(1)//lm//abab；mlab一.平行关系：a设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uα(2)//l①au0au；vuαβ设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3)//①//uv.uv(1)lm0abab二、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lmab设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//auaulauABC设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则3（）0uvuvαβuv例1四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)32AE=FGAE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AEFGAE与FG不共线几何法呢？例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法ABCDPEXYZ解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是0PAnPAnABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMNABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：''''CBAOOABCO’C’B’A’OABCEFZ11AFOExy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.1(,,)Aaaa(0,,0)Fab1(0,0,)Oa(,,0)Eaba1(,,)AFaba1(,,)OEabaa110AFOE11AFOE1AFOE１ABCDPEFXYZ-,,,,,.(2):.PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFD例2.四棱锥中底面是正方形底面点是的中点作交于点求证平面证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以ABCDPEFXYZ-,,,,,,:.PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBPBFPBEFD例2.四棱锥中底面是正方形底面点是的中点作交于点求证平面证2：,E是AA1中点，1111DCBAABCD例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,1)EB(0,2,1)ED设平面EBD的一个法向量是(,,1)uxy0uEBuED由11(,,1)22u得1(1,1,1)vCA0,uv平面C1BD.平面EBD证明2：E,E是AA1中点，1111DCBAABCD例3正方体平面C1BD.求证：平面EBD-,,,,:PABCDABCDPDABCDGPB练习四棱锥中底面是正方形底面是上的点求证平面GAC平面PDBABCDPXYZG例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1∥平面DBC1330302yzx02yzx)1,0,2(1EA)2,3,1(1AB1AB