空间向量的数量积运算

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3．1.3空间向量的数量积运算No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.空间向量的数量积运算．(重点)2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)3.空间向量数量积的运算律．(易错点)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.为了帮助四川地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的正四面体筋混凝土构件，已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受到大小相同的力F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都是60°.问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2．在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B吗？如何作出空间两向量a与b的夹角？夹角的取值范围是什么？3．已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做a与b的(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．它所满足的运算律有：(1)交换律：；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：＝a·c＋b·c.数量积|a||b|cos〈a，b〉a·b＝b·a(a＋b)·cNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引4．已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是.5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为.a⊥bπ3No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．空间向量的夹角定义图示记法范围已知两非零向量a、b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则叫做向量a，b的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b，记作.∠AOB〈a，b〉[0，π]互相垂直a⊥bNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝.交换律a·b＝.分配律a·(b＋c)＝.λ(a·b)b·aa·b＋a·cNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a|·|b|.(4)|a·b|≤|a|·|b|.应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离或两直线所成角．(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．已知向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝()A.5B．5C．6D.6No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝a·c＝12，a2＝b2＝c2＝1，所以|a－b＋2c|＝a－b＋2c2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2×12＋4×12－4×12＝6－1＋2－2＝5.答案：ANo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为()A.12B.22C．－12D．0No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解析：因为OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos〈OA→，OC→〉－|OA→||OB→|cos〈OA→，OB→〉又因为〈OA→，OC→〉＝〈OA→，OB→〉＝π3，|OB→＝|OC→|，所以OA→·BC→＝0，所以OA→⊥BC→，所以cos〈OA→，BC→〉＝0.答案：DNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→等于________．解析：AE→·AF→＝12(AB→＋AC→)·12AD→＝14(AB→·AD→＋AC→·AD→)＝14(a×acos60°＋a×acos60°)＝12a2答案：12a2No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引4.如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．解析：∵PC→＝PA→＋AD→＋DC→.∴|PC→|2＝(PA→＋AD→＋DC→)2＝|PA→|2＋|AD→|2＋|DC→|2＋2PA→·AD→＋2AD→·DC→＋2DC→·PA→＝62＋42＋32＋2|AD→||DC→|cos120°＝61－12＝49.∴|PC→|＝7，即PC＝7.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．[策略点睛]No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[解题过程]如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12.设OE→与BF→所成的角为θ，cosθ＝OE→·BF→|OE→|·|BF→|＝－1232×32＝－23.∴OE与BF所成角的余弦值为23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[题后感悟](1)两异面直线所成角的范围是0，π2，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化；(2)利用数量积求直线夹角或余弦值的方法No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．如图所示，已知E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量A1C1→与DE→所成角的余弦值．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解析：设正方体的棱长为m，AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m.a·b＝b·c＝c·a＝0.又∵A1C1→＝A1B1→＋B1C1→＝AB→＋AD→＝a＋b，DE→＝DD1→＋D1E→＝DD1→＋12D1C→＝c＋12a.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引∴A1C1→·DE→＝(a＋b)·c＋12a＝a·c＋b·c＋12a2＋12a·b＝12a2＝12m2.又∵|A1C1→|＝2m，|DE→|＝52m.∴cosA1C1→，DE→＝A1C1→·DE→|A1C1→|·|DE→|＝12m22m·52m＝1010.∴A1C1→与DE→所成角的余弦值为1010.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A、D两点间的距离．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[规范作答]∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝AD→·AD→＝(AB→＋BC→＋CD→)·(AB→＋BC→＋CD→)＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2BC→·CD→＋2AB→·CD→①2分∵AB＝BC＝CD＝2，∴|AB→|＝|BC→|＝|CD→|＝2②4分又∵AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC.∴AB→·BC→＝0③No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引∵CD⊥BC，∴CD→·BC→＝0④6分把②③④代入①可得|AD→|2＝4＋4＋4＋2AB→·CD→＝12＋2|AB→|·|CD→|cos〈AB→，CD→〉＝12＋8cos〈AB→，CD→〉⑤8分由∠DCF＝30°，从而∠CDF＝60°.又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF.∴〈AB→，DC→〉＝〈DF→，DC→〉＝60°.10分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引∴〈AB→，CD→〉＝120°.代入⑤式得到|AD→|2＝12＋8cos120°＝12－4＝8.∴|AD→|＝22.即A、D两点间的距离为22.12分[题后感悟]利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2.如图所示，在空间四边形OABC中，OA、OB、OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA中点，F为BC中点，求E、F间的距离．解析：∵EF→＝EA→＋AF→＝12OA→＋12(AB→＋AC→)＝12OA→＋12[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝－12OA→＋12OB→＋12OC→No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引∴EF→2＝14OA→2＋14OB→2＋14OC→2＋2×－12×12OA→·OB→＋2×－12×12OA→·OC→＋2×12×12OB→·OC→＝14×4＋14×4＋14×4－12×2×2·cos60°－12×2×2×cos60°＋12×2×2·cos60°＝2∴EF＝|EF→|＝2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[解题过程]证明：连结ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又OG→＝12(OM→＋ON→)