空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理课件

第二章§33.1&3.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三3．1&3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10米，后向南15米，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3米，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的i，j，k叫做标准正交基．(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝，叫做a的标准正交分解．单位向量xi＋yj＋zk(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数叫做空间向量a的坐标，a＝叫作向量a的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝，a·j＝，a·k＝.把x，y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝为向量a在向量b上的投影.(x，y，z)坐标轴正方向xyz(x，y，z)|a|cos〈a，b〉空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1、e2、e3是空间三个的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝.其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个．表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．不共面基底λ1e1＋λ2e2＋λ3e3a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．[例1]如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.(1)写出C′的坐标，给出AC关于i，j，k的分解式；(2)求BD的坐标．[思路点拨](1)C′的坐标(也是AC的坐标)，即为C′在x轴、y轴、z轴正方向上的投影，即|OD|，|OB||OA′|.(2)写出BD关于i，j，k的分解式，即可求得BD的坐标．[精解详析](1)∵AB＝3，BC＝4，AA′＝6，∴C′的坐标为(4,3,6)．∴AC＝(4,3,6)＝4i＋3j＋6k.(2)BD＝AD－AB.∵AD＝AD＋AA＝4i＋6k，∴BD＝AD－＝－AB＋AD＋AA＝4i－3j＋6k，∴BD＝(4，－3,6)．[一点通](1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．(2)若表示向量的坐标，只要写出向量关于i，j，k的标准正交分解式，即可得坐标．ABAB1.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝14A1B1，则1DE的坐标为________．解析：显然D为原点，设E1(x，y，z)，易知x＝1，y＝34，z＝1，∴1DE＝(1，34，1)．答案：(1，34，1)2．已知点A的坐标是(1,2，－1)，且向量OC与向量OA关于坐标平面xOy对称，向量与向量OA关于x轴对称，求向量OC和向量的坐标．解：如图，过A点作AM⊥平面xOy于M，则直线AM过点C，且CM＝AM，则点C的坐标为(1,2,1)，此时OC＝(1,2,1)，该向量与OA＝(1,2，－1)关于平面xOy对称．过A点作AN⊥x轴于N，则直线AN过点B，且BN＝AN，则B(1，－2,1)，此时＝(1，－2,1)，该向量与OA关于x轴对称．3.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO、1AB的坐标．解：(1)∵DO＝－OD＝－(1OO＋1OD)＝－[1OO＋12(OA＋)]＝－1OO－12OA－12＝－4k－2i－j.∴DO＝(－2，－1，－4)．(2)∵1AB＝－1OA＝－(OA＋1AA)＝－OA－1AA＝2j－4i－4k.∴1AB＝(－4,2，－4).[例2]如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′.求：(1)向量CA在CD上的投影；(2)CD是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量CA在DC上的投影．[思路点拨]a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．[精解详析](1)法一：向量CA在CD上的投影为|CA|cos〈CA，CD〉，又正方体棱长为1，∴|CA′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA|＝3，∠DCA′即为CA与CD的夹角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝13＝33，∴CACA在CD上的投影为|CA|cos〈CA，CD〉＝3·33＝1.法二：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈CA，CD〉＝∠DCA′.∴CA在CD上的投影为：|CA|cos〈CA，CD〉＝|CA|cos∠DCA′＝|CD|＝1.(2)CA与DC的夹角为180°－∠A′CD，∴CA在DC上的投影为|CA|cos(180°－∠A′CD)＝－|CA|cos∠D′CA＝－1.[一点通](1)求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA，CD〉与〈CA，DC〉是不同的，其和为π.4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()A．1B．－1C.14D．－14解析：a·i＝|a||i|cos〈a，i〉,∴|a|cos〈a，i〉＝a·ii＝(i＋2j＋3k)·i＝1.答案：A5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量1AC在向量1AD上的投影为________．解析：1AC在1AD上的投影为|1AC|cos〈1AC，1AD〉，而|1AC|＝42＋22＋22＝26，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝|AD1||AC1|＝33，∴|1AC|cos〈1AC，1AD〉＝22.答案：22[例3](12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.(1)证明A、E、C1、F四点共面；(2)若EF＝x＋yAD＋z1AA，求x＋y＋z[思路点拨]要证明四点共面只需证明1AC可用AE，AF表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把EF用，AD，1AA表示出来，求出x、y、z，再求x＋y＋z.[精解详析](1)证明：1AC＝AE＋1EC，(1分)又1EC＝1EB＋11BC＝231BB＋11BC＝231AA＋AD，(2分)AF＝AD＋DF＝AD＋231DD＝AD＋231AA(3分)∴1EC＝AF，(4分)∴1AC＝AE＋AF，(5分)∴A、E、C1、F四点共面．(6分)(2)∵EF＝AF－AE(7分)＝AD＋DF－(AB＋BE)(8分)＝AD＋1DD－－131BB(9分)＝－AB＋AD＋131AA，∴x＝－1，y＝1，z＝13.(11分)∴x＋y＋z＝13.(12分)[一点通](1)空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a、b、c构成的向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则，平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a、b、c，不能再有其他向量．6．设p：a、b、c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a，b，c为非零向量，当a，b，c共面时，a，b，c不能作为空间的一个基底；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c不共面，a，b，c三个向量均不能为零向量，故选B.答案：B7．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，且1AA＝a，＝b，AD＝c，用a，b，c表示如下向量：(1)1AC；(2)BG(G在B1D1上且1BG＝121GD)．解：(1)1AC＝－1AA＝＋AD－1AA＝－a＋b＋c.(2)BG＝1BB＋1BG，又1BG＝131BD＝13(11BA＋11AD)＝13(AD－)＝13(c－b)，∴BG＝a－13b＋13c.8．若a，b，c是空间的一个基底．试判断a＋b，b＋c，c＋a能否作为该空间的一个基底．解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵a，b，c为基底，∴a，b，c不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，说明假设不成立，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴a＋b，b＋c，c＋a可以作为空间的一个基底．1．空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P′.在平面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是0.3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．4．点A(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a，－b，－c)、(－a，b，－c)、(－a，－b，c)；它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a，b，－c)、(a，－b，c)、(－a，b，c)、(－a，－b，－c)．