初中几何辅助线大全

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图14图ABCDEFM1234五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF＝2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BCABCDEABCDEF25图ABCDNMP16图12ABCDE17图O八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。19图DCBAEF12DCBA110图O111图DCBAMN例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD试试看可否把短的延长来证明呢？例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD图1-2ADBCEF图1-3ABCDE图1-4ABCDE图2-2ABCDE分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=21（AB+AC）图2-3PABCMNDF图示3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=21EC，另外由求证的结果AM=21（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例4如图，ABAC,∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。例5如图，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。12ACDBBDCA图3-4nEBADCMF例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CDABECDCABAEBDCABDC124．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。求证：BC=AB+DC。例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=21DB。ABCDDAECBAEBCDDCBAMBDCA1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。EDCBA（三）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。。例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CFEF。例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。练习：1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。14图ABCDEFM1234ABCDE15图BADC86DCBA2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.DMCDEDADBDBECDAABCDEF25图ABDCEFEDFCBAEDCBA2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA（二）、截长补短1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDCDBADCBAP21DCBAPQCBA3：如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC