3.1.1~3.1.2数系的扩充、复数的概念和复数的几何意义

Z计数的需要自然数（正整数与零）解方程x+3=1整数解方程3x=5有理数解方程x2=2实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。NQR引入负整数引入分数引入无理数02:54一元二次方程，有没有实数根？问题1：01x202:541545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。02:54为了解决负数开平方问题，数学家引入一个新数i，把i叫做虚数单位，并且规定：(1)i21；(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.问题解决:02:54问题2：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，你得到什么样的数？i与a相加记作a+I;i与实数b相乘记作bi;规定0乘以i等于0;bi与实数a相加记作a+bi02:54复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,biaz),(RbRa实部虚部复数的代数形式：全体复数所形成的集合叫做复数集，通常用字母z表示.一般用字母C表示.知新02:54说出下列复数的实部和虚部？，i312-.22,i3-.i29-3小试牛刀虚数实数复数z=a+bi(a∈R、b∈R)能表示实数和虚数？02:54•对于复数a+bi(a,b∈R),•当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;•当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;•当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;•当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;自主学习b=0a=0且b=0b≠0a=0且b≠002:54复数z=a+bi(a∈R、b∈R)能表示实数和虚数问题3：如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，复数z=a+bi02:54你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？问题4：复数集C实数集R纯虚数集虚数集02:54a,b,c,d应满足什么条件呢？问题5：若复数R)dc,b,di(a,+c=bi+a02:54如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即▲(),,,abcdRdicbiaacbd00ab思考知新若0()abiabR、问题解决:若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。02:542-3i06i实部虚部分类2i虚数2134例1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）i34212-3虚数00实数06纯虚数-10实数02:54实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解：（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当，且，即时，复01m01m数z是纯虚数．01m01m01m例2：实数的几何意义？在几何上，我们用什么来表示实数?实数可以用数轴上的点来表示.数轴上的点实数(数)一一对应(形)类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？回忆…复数的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)实部虚部一个复数由什么确定？复数的实质是什么？探究任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应可用下图表示出他们彼此的关系.aZ(a,b)z=a+biboxy那么现在复数z=a+bi可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示：复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面(简称复平面)x轴------实轴y轴------虚轴观察实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，因为原点表示实数0.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.练一练•复平面内的原点(0,0)表示();•实轴上的点(2,0)表示()；•虚轴上的点(0,-1)表示();•点(-2,3)表示().实数0实数2纯虚数-i复数-2+3i依照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.记住！由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应复数的几何意义之一是：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.可用下图表示出他们彼此的关系.复数z=a+bi平面向量OZ直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应Z(a,b)aobyxz=a+bi由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的.复数的另一几何意义之一是：复数z=a+bi一一对应平面向量OZ注意向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|=|a+bi|=r=(r0,).OZ22a+br∈R为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量且规定相等的向量表示同一个复数.OZ同学们还应明确：任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点Z(a，b)对应，复平面内任意一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的量对应.这些对应都是一一对应，即OZOZz=a+biZ(a,b)一一对应例3求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a0)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？小结课堂小结1.复数的实质是一对有序实数对；2.用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；3.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi)；5.复数的两个几何意义：复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b)复数z=a+bi一一对应平面向量OZ7.复数的模通过向量的模来定义；6.复平面内任意一点Z(a,b)可以与以原点为起点，点Z(a,b)为终点的向量对应；OZ