3.1.1两角差的余弦公式

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式三角恒等变换1．探索两角差的余弦公式，会利用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．掌握两角差的余弦公式及其结构，会用公式求值．基础梳理一、两角差的余弦公式的推导两角差的余弦公式：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为公共始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，设向量OA→，OB→的夹角0≤α－β≤π，则OA→＝()cosα，sinα，OB→＝()cosβ，sinβ.由向量数量积定义得OA→·OB→＝||OA→||OB→cos()α－β＝cos()α－β，且有OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ，于是得两角差的余弦公式：cos(α-β)＝________.当α，β，α－β为任意角时，该公式也适用．注意：公式的逆用形式为cosαcosβ＋sinαsinβ＝________.公式的推导中要注意如下几何问题：(1)两角差的余弦公式是推导出其他和(差)角三角函数公式的基础，因此在学习上要引起重视．(2)在推导两角差的余弦公式时利用了单位圆与平面向量的数量积．cosαcosβ＋sinαsinβcos()α－β(3)公式cos()α－β的本质是用单角α，β的三角函数表示角α－β的余弦，作出(或找到)角α，β，α－β，尤其是这些角的始边应放在x轴的非负半轴上，且顶点与原点重合，这样才能方便、容易地写出角α，β的终边与单位圆交点的坐标，而这些坐标恰好也包含了单角α，β的正弦和余弦，而OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝||OP→||OQ→cos〈OP→，OQ→〉为推导公式提供了依据和可能．练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．练习2：cos(45°－60°)＝________.练习1：32，12练习2：6＋24二、角的组合α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)－(β－α)]α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等．思考应用你能归纳出两角差的余公式的结构特点吗？解析：(1)两边的符号正好相反(一正一负)，右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；(2)式子中α、β是任意的；(3)式子的逆用，变形用．正因为α、β的任意性，所以赋予C(α－β)公式的强大生命力．自测自评1．下列式子中，正确的个数为()①cos()α－β＝cosα－cosβ；②cos()α＋β＝cosα－cosβ；③cos()α－β＝cosαcosβ－sinαsinβ；④cos()α＋β＝cosαcosβ＋sinαsinβ.A．0B．1C．2D．3A2．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为()A．0B.12C.32D．－12B3．若sinαsinβ＝1，则cos(α-β)的值为()A．0B．1C．2D．3解析：∵sinαsinβ＝1，∴sinα＝sinβ＝1或sinα＝sinβ＝－1，∴cosα＝cosβ＝0，∴cos(α-β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.选B.答案：B4．式子cosx＋sinx可化为()A．cosx－π4B．cosx＋π4C.2cosx－π4D.2cosx＋π4解析：cosx＋sinx＝222cosx＋22sinx＝2cosxcosπ4＋sinxsinπ4＝2cosx－π4.选C.答案：C5．试应用公式计算：(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.解析：(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos()80°－35°＝cos45°＝22；(2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos()80°－20°＝cos60°＝12.两角差的余弦公式的简单应用(1)sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值为()分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．(2)本题考查公式的逆用．如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值，使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．A．－12B.12C.32D．－32(2)3sinπ12＋cosπ12的值为()A.12B．1C.2D.3解析：(1)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos()83°－23°＝cos60°＝12.选B.(2)原式＝232sinπ12＋12cosπ12＝2cosπ3cosπ12＋sinπ3sinπ12＝2cosπ3－π12＝2cosπ4＝2×22＝2.选C.答案：(1)B(2)C点评：(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记教条．(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式特征．(3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．跟踪训练1．计算：(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(3)已知sinα＝－45，sinβ＝513，且180°α270°，90°β180°，求cos()α－β.解析：(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0；(2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(3)∵sinα＝－45，180°α270°，∴cosα＝－35，∵sinβ＝513，90°β180°，∴cosβ＝－1213，∴cos()α－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×－1213＋－45×513＝1665.已知角的变形在解题中的应用(1)计算：cos(－15°);(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用，要善于进行角的变形，使之符合公式特征．(2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．解析：(1)原式＝cos(－15°)＝cos15°＝cos()45°－30°＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)2cos10°－sin20°sin70°＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°sin70°＝2×32cos20°＋2×12sin20°－sin20°sin70°＝3sin70°sin70°＝3.答案：(1)6＋24(2)C点评：在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…等)之间差的关系问题，然后利用公式化简求值．跟踪训练2．求cos105°＋sin195°的值．分析：105°＝60°＋45°，sin195°＝sin(90°＋105°)＝cos105°.解析：cos105°＋sin195°＝2cos105°＝2cos(60°＋45°)＝2cos60°cos45°－2sin60°sin45°＝2×12×22－2×32×22＝2－62.用字母表示角的变形在解题中的应用已知cosπ6－α＝1517，α∈π6，π2，求cosα的值．分析：π6－α＋α＝π6⇒α＝π6－π6－α.解析：∵π6－α＋α＝π6，∴α＝π6－π6－α，又∵cosπ6－α＝1517，α∈π6，π2，∴π6－α∈－π3，0，∴sinπ6－α＝－1－cos2π6－α＝－1－15172＝－817∴cosα＝cosπ6－π6－α＝cosπ6cosπ6－α＋sinπ6sinπ6－α＝32×1517＋12×－817＝153－834.点评：利用角变换进行三角函数式的求值、证明是常用的技巧，如α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．跟踪训练3．设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.分析：配角；整体代换；差角的余弦公式灵活运用．解析：注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：α－β2－α2－β＝α＋β2，因此可以求出cosα＋β2，∵α∈π2，π，β∈0，π2，∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，又∵sinα2－β＝230∴α2－β∈0，π2.∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝1－181＝459.cosα2－β＝1－sin2α2－β＝1－49＝53.∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2·sinα2－β＝－19×53＋23×459＝7527.辅助角在两角差的余弦公式中的应用要使3cosx＋sinx＝4m－64－m有意义，则应有()A．m≤73B．m≥－1C．m≤－1或m≥73D．－1≤m≤73解析：∵3cosx＋sinx＝232cosx＋12sinx，＝2cosx－π6＝4m－64－m，且－2≤2cosx－π6≤2，∴－2≤4m－64－m≤2，解之得－1≤m≤73，选D.答案：D分析：主要考查作辅助角，形成两角差的余弦公式中所需要的条件．点评：解此类形如asinx＋bcosx的题，在式子前提取a2＋b2，得asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，令cosφ＝ba2＋b2，sinφ＝aa2＋b2，则asinx＋bcosx＝a2＋b2()sinφsinx＋cosφcosx＝a2＋b2cos()x－φ.跟踪训练4．若3sinx＋cosx＝4－m有意义，则实数m的取值范围是()A．2≤m≤6B．－6≤m≤6C．2m6D．2≤m≤4解析：∵3sinx＋cosx＝232sinx＋12cosx＝2cosx－π3＝4－m，且－2≤2cosx－π3≤2，∴－2≤4－m≤2，解之得2≤m≤6，选A.答案：A一级训练1．cos27°cos57°－sin27°cos147°等于()A.32B．－32C.12D．－12解析：原式＝cos27°cos57°－sin27°cos()180°－33°＝cos27°cos57°＋sin27°cos33°＝cos27°cos57°＋sin27°sin57°＝cos()57°－27°＝cos30°＝32.答案：A2．sinπ2－αcos()α＋β＋sinαcosπ2－()α＋β等于()A．cosβB．cosαC．sinβD．sinα解析：原式＝cosαcos()α＋β＋sinαsin()α＋β＝cos[]α－()α＋β＝cos()－β＝cosβ.答案：A1．利用辅助角解决的三角函数问题主要有：(1)形如asinx＋bcosx型题，asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx＝a2＋b2()sinφsinx＋cosφcosx＝a2＋b2cos()x－φ，其中sinφ＝aa2＋b2，cosφ＝ba2＋b2.(2)折角、拼角的方法：如α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋π4＝π2－π4－α等．2．解答此类试题时要注意以下两点：(1)先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免