3.1.1函数与方程

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．理解函数零点的概念，以及了解函数的零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使________的实数____叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的联系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的________．f(x)＝0x实数根横坐标课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测3．函数零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________.这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜0f(c)＝0课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测(1)函数y＝2x－6的零点是______．(2)函数f(x)＝x2－1x的零点个数是______．解析：(1)∵2x－6＝0，∴x＝3.(2)f(x)零点的个数就是方程x2－1x＝0根的个数，也就是y＝x2与y＝1x两函数图象交点的个数，如图．答案：(1)3(2)1课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．1．函数f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点．()2．在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．()3．在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．()答案：1.×2.×3.×课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测函数零点及求法判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.思路点拨：求函数fx的零点―→求方程fx＝0的根解：(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是x＝－3.课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－120，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根．所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测3．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝x－1x2－4x＋3x－3；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.所以函数的零点为x＝－2.(2)令x－1x2－4x＋3x－3＝0，解得x＝1.所以函数的零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－50，而4x＞0，所以方程4x＋5＝0无实数根．所以函数不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数的零点为x＝0.课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测判断函数零点所在的区间(1)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C.1，1e和(3,4)D．(e，＋∞)(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测思路点拨：(1)求fa和fb的值―→判断是否fa·fb＜0(2)ex＋x＝2的解―→ex＋x－2＝0的解―→函数fx＝ex＋x－2的零点课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测(1)解析：∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴在(1,2)内f(x)无零点，排除A.又f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.答案：B课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测(2)解析：构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－10，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．答案：C课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测2．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测2．(1)使得函数f(x)＝lnx＋12x－2有零点的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测解析：函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，且f(2)＝ln2－1lne－1＝0，f(3)＝ln3－12lne－12＝120，∴f(2)·f(3)0.故选C.答案：C课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测(2)若x0是方程12x＝x13的解，则x0属于区间()A.23，1B．12，23C.13，12D．0，13课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测解析：构造函数f(x)＝12x－x13.由于f13＝1213－13130，f12＝1212－12130，所以函数f(x)的零点在区间13，12，即x0∈13，12.答案：C课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．判断函数零点的个数思路点拨：方法一：计算f0与f2――→零点存在性定理确定fx在区间0，2内有零点―→判断fx的单调性―→fx零点个数方法二：重新构造函数hx＝2－2x与gx＝lgx＋1―→同一坐标系内作出hx与gx的图象――→数形结合hx与gx图象交点的个数即fx零点的个数课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－10，f(2)＝4＋lg3－20，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测【互动探究】将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋lnx呢？解：方法一：令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝3－x，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．方法二：因为f(3)＝ln30，f(2)＝－1＋ln2＝ln2e0，所以f(3)·f(2)0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以函数只有一个零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法．方法一：直接求出函数的零点进行判断；方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测点击进入WORD链接课堂互动探究数学·必修1(A版)课前自主预习课时跟踪检测点击进入WORD链接活页作业(二十三)谢谢观看！