3.1.1空间向量及其加减运算课件

1第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算第1课时空间向量及其加减运算复习回顾：平面向量1.定义：既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为600,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……平面中存在向量,空间中是否也有向量?4向量加法的平行四边形法则ab向量加法的三角形法则ba向量减法的三角形法则ab2、空间向量的加法和减法运算法则回顾：平面向量的加、减法运算法则：55思考1：在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在空间向量中呢？思考2：空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的两个向量吗？aObab结论：空间任意两个向量的运算都可转化为共面向量的运算.思考3：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向量的运算？空间向量的加减运算和平面有什么联系？6空间向量的加减运算•平行四边形法则•三角形法则ababababbababa77推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即12233411nnnAAAAAAAAAA（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则这些向量的和为零向量，即12233410nAAAAAAAAA1AnA2A1AnA2883、空间向量的加法运算律回顾：平面向量的加法运算律⑴加法交换律：⑵加法结合律：abba)()(cbacba空间向量中还成立吗？思考：空间任意两个向量可都转化为共面向量，那么空间任意三个向量也都能转化为共面向量吗？993、空间向量的加法运算律⑴加法交换律：空间向量中显然成立⑵加法结合律：abcabcbc+abba)()(cbacba10例1.化简下列各式：⑴ABBCCA;⑵;ABMBBOOM⑶;ABACBDCD⑷OAODDC.102AB304CA11变式：化简下列各式：⑸OAOCBOCO;⑹ABADDC;⑺NQQPMNMP.5BA6CB70''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BCAB解：ABCDA’B’C’D’BCAB⑴AC；⑵'AAADAB'AAADAB⑵'AAAC'CCAC　'AC例题13ABCDA’B’C’D’变式1：在上图中，用,,'ABADAA表示,ACBD和DB.变式2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111)1(解.11111xACCCCBAB111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(变式2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112)2(BDAD111BDADAD111()ADADDB1ADAB1AC1112)2(ACxBDAD.1x111)3(ACxADABAC3.1.2空间向量的数乘运算17aaaa与平面向量一样，实数与空间向量的积仍然是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：00aaaa当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；.000aa时，或当特别地，(1)(2)以上运算称为空间向量的数乘运算.一、空间向量的数乘运算定义：（4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量),0(,bba)0(//bba有且只有一个实数，使ba思考：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线3.1.3空间向量的数量积20已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.a·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。回顾：平面向量数量积定义：类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？1.两个空间向量的夹角的定义:ABaabb如图,已知两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向⑵,,abba＝⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab起点相同2.两个空间向量的数量积定义注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已知空间两个非零向量、ab,则cos,abab叫做、ab的数量积,记作ab.即cos,ababab.显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.3.两个空间向量数量积的性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③实现了向量与向量模之间的转换；2aPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPA25已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAla例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,,取直线的方向证明向量同时取向量：laPOOA0,OAaOAlPOllPO,,且0POa0OAaPOaOAPOaPAa又因为PAl所以，264.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆ABCD123.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、空间向量基本定理:如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.都叫做基向量,,abc叫做空间的一个基底{,,}abcxyzkijQPO如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。cabp单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用表示正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。{,,}ijk二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.kji,,kji,,三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作=(x,y,z)p由空间向量基本定理，对于空间任一向量存在唯一的有序实数组(x,y,z)使pkzjyixpP′P•1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A.2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC.a,2b，b－cD．c，a＋c，a－cC’D’BCB’ADA’的坐标。，试写出图中各点所示的空间直角坐标系的中点，建立如图和分别是、的立方体是棱长为已知DC'BBFE2'D'C'B'AABCD·EFxyz练习2BANCOMQP例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。,,OAOBOCOPOQ12:23121()232111633OPOMMPOAMNOAONOAOAOBOC解112311111()()23236111366OQOMMQOAMNOAONOAOAOBOCOAOBOC3.1.5空间向量运算的坐标表示123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab一、向量的直角坐标运算2222123||aaaaaa2222123||bbbbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab思考：当及时，夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（3）空间两点间的距离公式4.设则＝，．AB的中点M的坐标为．),,(),,,(222111zyxBzyxAABAB例1.设＝(1,5，－1)，＝(－2,3,5)．(1)若(＋)∥(－3)，求；(2)若(＋)⊥(－3)，求.abakbabkkababk证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例3如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA练习1:已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:PAABCD,MN,ABPCPAADMNPDC平面证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则,,ijkAxyzADBPCMNxyz,,,,,1PAADABPAACADABDAiABjAPkPA且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,,0),(,,)2222MN11(,0,)22MN(1,0,1)PD(0,1,0)DC11(,0,)(1,0,1)022MNPDMNPD11(,0,)(0,1,0)022MNDCMNDCPDDCDMNPDC又平面F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例2如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF