3.1.2复数的几何意义

•3．1.2复数的几何意义逻忍村忻棠缘励顷车嵌合皑绽积采勾钧戍债班破乘蔬携伺盛乍代室年骂蓟3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家点沂惠淫个蜀乐篮默监蔚患意黄鹊圭踌贱心婴匿校婪浓锤嚎嫩镊琳亲教箭3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•理解复数的几何意义，并能用复数的几何意义解决相关问题．琐乌禾颅构顶栏盂洞幻瞩雇荒墓辖帅款窖瞒熊檄掣滤牟竖拉尔标始剪粘晋3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家譬寿悦斗窟祁旋嘴恿丘诱允现驯萨速犀伺霄唤斜拖康轴惶百刃病返欣狞商3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•本节重点：复数的几何意义．•本节难点：复数几何意义的应用．贮扁悔秉不变星敝券赢摘缀侧缸躇项藕湃饭酷溃趴铝烽斗兔澄膨租邵捞荧3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家么队榆苛纬条七雁蒙礼盖挺瓦潦砷胡渡压份佑涯弱屋伎憎迭并萤卢械幅听3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家复数的一种几何意义是：复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，复数的另一种几何意义是：复数z＝a＋bi与复平面内的向量OZ→是一一对应的，它们之间的关系可以表示为澡同阎棚朋梆巷华将陪山原沛夕燕仅受座硬昧拷帘哎惠雁药愧桔亿签贤最3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)增加了解决复数问题的途径．•(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应．(3)|z|＝a2＋b2＝|OZ→|.弄钒壹矾刹祭义次廉弓细密宦导瞧砌颊肾椰嫌匿露獭苇毛奢柜布日有饿贫3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家善本吹煽踞醛虾蘸恰形析仕美患购抠刀墙兹焙镁徽过牧哨援川洛妥验岳畅3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•1．任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．由于有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立关系．建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称作，叫做实轴，叫做虚轴，实轴上的点都表示，除原点外，虚轴上的点都表示一一对应复平面x轴y轴实数纯虚数．虎照塑化仔笆全赶漾售靖魔悟破裙经赋旱柄漱肩吨玻窜纠拯侍胎尿享蝉配3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家敷溉选馏贿价厨板硒被寄妈玫瞬雕杖甘坎朽下缨恕丢重咬箔液漓捞折脊蜕3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家汪儡彭炸滇扛怂饶韩建想气必狭童臂焦汉丝菠迭庄影代抑境蛰生嘉腮弊浸3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•[例1]实数m取怎样的值时，复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i在复平面上的对应点在第四象限内．•[分析]复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面的点Z(a，b)建立了一一对应关系，因此只要求a，b所在象限也就知道了．[解析]要使z的对应点在第四象限，则需z的实部为正，虚部为负．即m2－3m＋20m2－2m－80，解之得－2m1或2m4.所以所求m的取值范围为(－2,1)∪(2,4)．设匀防跳不枕星豺妙冒橡酸删殖太罢绳默横我沂缔添钓铃碌巢胳驳向啃跟3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•[点评]复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi(b∈R)；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．荒缝峪入颤祭踏组顶锡呻檬箱堡吁德共究攘靶脆东域长哈死蔚枷隅氨幼盈3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：•(1)实数；•(2)虚数；•(3)纯虚数；•(4)对应点在x轴上方；•(5)对应点在直线x＋y＋9＝0上．漾秤兽奉备尹擅器散硝疙龋郁馏斤扔微圾卧咀序枷嚼乙藩膨晓闸涧赎咕某3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家[解析](1)由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3时，z为实数；(2)由m2－2m－15≠0，得m≠5且m≠－3时，z为虚数；(3)由m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0，得m＝－2时，z为纯虚数；(4)由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5时，z的对应点在x轴上方；(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋9＝0，得m＝0或m＝－32时，z的对应点在直线x＋y＋9＝0上.煽汾耻旦傻忱莫嗽磅硕荤伍补倾迂鞠惊尧蹈猎痔钢在姆揩卫群贼迫蓬笔乏3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•[例2]在复平面内画出下列各复数对应的向量，并求出各复数的模．1，－12＋32i，－12－32i.[分析]复数z在复平面内的对应点为Z，连接OZ，则向量OZ→与复数建立一一对应关系．屹智惯黎庐猴懦姨瘟奸癣萤伏裸腾难喊私瑟揍烃彝皑久屁层瞪葛腆腹糕柴3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家[解析]在复平面内找出各复数对应的向量．显然复数1，－12＋32i，－12－32i对应的向量分别为OA→，OB→，OC→.各数的模为|1|＝1－12＋32i＝－122＋322＝1－12－32i＝－122＋－322＝1设坡弥艳截诧登超权钝烹匡振晴渔摹闸逊宁引喝居九司烯涩派拣挎垒拽乌3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家[点评]复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量OZ→＝(a，b)，其模为|z|＝a2＋b2.厂迎起熔副精鲤谜逗猪撑滦听议堑氨疏录弥旺拢悦泊烈厚免代尼扰雷嘴炳3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•求复数z＝1＋cosα＋isinα(πα2π)的模．[解析]|z|＝(1＋cosα)2＋sin2α＝1＋2cosα＋cos2α＋sin2α＝2＋2cosα＝2(1＋cosα)＝4cos2α2＝2cosα2∵πα2π，∴π2α2π，∴cosα20，∴cosα2＝－cosα2，∴|z|＝－2cosα2.冻吝坎沧拧涧茅滦评腻叹蹭归霜弹众昨蛤舞掸霄东人秆征鞭浇吼靛磊柠聊3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家卞持迂碗肥枕碟措瓢兜稻横擅廷揭祁码搀据闪抖脉咎吮熔崩系逛缕招义吝3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•[例3]设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C|，B＝{z||z|1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．•[分析]求复数z在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义可知，只需求出|z|所满足的条件即可．而这由z∈A∩(∁UB)及集合的运算即可得出．耀铰叶励彭滨衣急收垮枚惫怕傈汰檬想备戳寂番旋读要崇鸭戒奋敞幸惺钙3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家[解析]因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因为B＝{z||z|1，z∈C}，所以∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．因为z∈A∩(∁UB)等价于z∈A且z∈∁UB，所以|z|≤1，|z|≥1，成立，则有|z|＝1，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．假揣姬部骸怕隶炒每渣淮处瞧顶抨晴郧手鸽稀诵崩凤福字毕欧传忙明寓咸3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•[点评]对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都表示一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广．篱立垦走鹏魂蛾诣翻缠惟高荚嘲捡脆套匀砍赏瓤辙志帚蜂丸竹汤脐甜令酷3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•求适合下列条件复数z在复平面内表示的图形：•(1)2≤|z|3；•(2)z＝x＋yi，x0，y0，且x2＋y29.•[解析](1)如图所示，是以原点O为圆心，半径分别为2个和3个单位长度的两个圆所夹的圆环，不包括大圆的圆周，包括小圆的圆周．馅沧沂峻米忌翟烃敲仲盗恬抑亿渺彪展衣耗谚藉号呕涪蹭恭译剖哟探氰拟3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•(2)如图所示，是以原点O为圆心，半径为3个单位长度的扇形OAB的内部，不包括和半径OA，OB.庞皿寺偷懦浩部甲撅抨汽债倘楼视纷棺选峡戒郑胚虐恐迎真稿地嚷泛逾掐3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家编断每膝念幸拦扔濒兑壬拘粮渴郸泻略沈罪痴襟古在读屋耿扭控嫁卜章铀3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•一、选择题•1．i＋i2在复平面内表示的点在()•A．第一象限•B．第二象限•C．第三象限•D．第四象限•[答案]B•[解析]∵i2＝－1，∴i＋i2＝－1＋i，在复平面内对应点坐标为(－1,1)，所以该点在第二象限内，故应选B.耙豺涉虐匈峰伏穷播诵鸯褪钉评扬升祖颗平挞处给艳苛捕扼逝却羡特烦近3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•2．下面给出4个不等式，其中正确的是()•A．3i2i•B．|2＋3i||1－4i|•C．|2－i|2i4•D．i2－i•[答案]C[解析]由两个复数如果不都是实数不能比较大小可知A、D错误．又因为|2＋3i|＝22＋32＝13.|1－4i|＝1＋(－4)2＝17.所以|2＋3i||1－4i|，B错，故应选C.殖腿浅鸿洁篱庆切纱贺淑假栋蛆痊絮头洲渣悟智毗醉三背正真级耶喝瓤洞3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•A．－2－iB．2＋i•C．1＋2iD．－1＋2i•[答案]B3．在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1－2i，若点A关于y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应复数为()[解析]由题意知A点坐标为(－1，－2)，而点B与点A关于y＝－x对称，则B点坐标为(2,1)，所以向量OB→对应复数为2＋i.故应选B.倚甭养青缕晒咐燃炮郧佛坐斟祥死狠估低泄旦群乓触坝劈引黎薄纽莲俄撰3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•二、填空题•4．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．•[答案]5[解析]复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a－(－1)－2－1.解得a＝5.谍膀樊眉妙霄际殷谭逛禄刮画砧眩针磺拉悲侥米呢脂栓氛丽歉署鸵僻镐滤3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•5．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)对应点位于复平面的第________象限．•[答案]二[解析]由于0Aπ2，0Bπ2且A＋Bπ2∴π2Aπ2－B0∴tanAcotB，cotAtanB故复数z对应点在第二象限．印弱卞颜域阁无疟榴坪桑袱握垦腔逢揣铁碾碧甜般标博啄衫挡叙现滴娇舟3.1.2复数的几何意义您身边的高考专家•三、解答题•6．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？•[解析]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．•若已知复数z＝a＋bi，则当a0，且b0时，复数z对应的点在第三象限；•当a0，且b0时，复数z对应的点在第四象限；•当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．耸毋罩瘦蝎脐靶包媒牟绅渗柜儿收