搜索
高考调研第八章立体几何高三数学（新课标版·理）第八章立体几何高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研第5课时直线、平面垂直的判定及性质高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.2012·考纲下载高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转化，从而体现了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容.请注意！高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研1．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面．相交垂直．垂直高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研2．直线与平面垂直的性质定理(1)如果两条直线垂直于，那么这两条直线平行．(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的直线垂直．同一个平面任意一条高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研3．平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面，那么两个平面互相垂直．4．平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_______的直线垂直于另一个平面．经过了另一个平面的一条垂线垂直于它们交线高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研1．(课本习题改编)若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条．答案无数解析虽然可以在平面α内找到一条直线b⊥a，而在平面α内有无数条直线平行b，从而与直线a垂直的直线有无数条．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研2．(2012·衡水调研)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是()A．若b⊂α，c∥α，则b∥cB．若b⊂α，b∥c，则c∥αC．若c∥α，c⊥β，则α⊥βD．若c∥α，α⊥β，则c⊥β答案C高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研解析如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n答案B高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研解析选项A中平面α，γ可以是斜交，也可以是平行；选项C中直线m可在β内；选项D中的直线m，n可以是斜交、平行，还可以是异面；选项B正确．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研4．(2011·浙江理)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研题型一线线、线面垂直高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研例1如上图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研【证明】(1)连接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点．∴MN⊥AB，又AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD，∵ABCD为矩形．∴AD＝BC，∴PA＝BC，又∵M为AB的中点，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°，高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC，由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研探究1证线面垂直的方法有：(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研思考题1高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研如上图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G.求证：AG⊥SD.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研【证明】(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD，又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC，又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研题型二面、面垂直例2(1)△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研【证明】①取EC的中点F，连接DF，∵BD∥CE，∴DB⊥BA.又EC⊥BC，在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研②取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊12EC，∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研(2)已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E为垂足．①求证：PA⊥平面ABC；②当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．【思路】已知条件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到面面垂直的性质定理，便有如下解法．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研【证明】高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研①在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC内，∴PA⊥平面ABC.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研②连接BE并延长交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研探究2由(1)应掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研由(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．②的关键是灵活利用①题的结论．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研思考题2如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由．高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研【证明】(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC，∴由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C.又∵CC1⊂侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研(2)方法一取BC1的中点E，连接DE、ME.在△BCC1中，D、E分别是BC、BC1的中点，∴DE綊12CC1.又AA1綊CC1，∴DE綊12AA1.∵M是AA1的中点(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研∴AMED是平行四边形，∴AD綊ME.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵ME⊂面BMC1，∴面BMC1⊥侧面BB1C1C.高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研方法二延长B1A1与BM交于N(在侧面AA1B1B中)，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由棱柱定义知△ABC≌△A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1在△B1C1N中，由平面几何定理知：高考调研高三数学（新课标版·理）第八章第5课时高考调研∠NC1B1＝90°，即C1N⊥B1C1.又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1，∴NC1⊥侧面BB1C1C.