第一类曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分机动目录上页下页返回结束向量场中的积分表示一物体在力场中沿曲线所做的功液体流过一个表面的流量第十章第一节机动目录上页下页返回结束第一类曲线积分二、第一类曲线积分的概念与性质一、问题的提出三、第一类曲线积分的计算AB一、问题的提出假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分割,近似,求和,取极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk例1:曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束例2：设是一张母线平行于z轴，准线为xoy面上的曲线L的柱面的一部分，其高度函数),(yxh（Lyx),(）是一个变量。求面积。这里假设),(yxh是连续的。解：设,),(iiiMzyxo1iAiAiM),(yxh则iiiishA),(则曲面的面积为：niiiishA1),(，则并令令0},{maxiisniiiishA10),(lim机动目录上页下页返回结束L定义：设L是空间中一条有限长的光滑曲线,函数在L上有定义,kkkksf),,(都存在,L上对弧长的曲线积分,记作Lszyxfd),,(若通过对L的任意分割局部的任意取点,二.定义及性质下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L称为积分弧段.nk10limks1kMkM),,(kkk和对机动目录上页下页返回结束ds称为弧长元素（弧微分）.如果L是xoy面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果L是闭曲线,则积分号记为L则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束（2）柱面的侧面积：dsyxhAL),(；（1）曲线形构件的质量：dszyxML),,(；由定义知：（3）LdsL的长度。物理意义几何意义机动目录上页下页返回结束1.（可积的充分条件）：若曲线L分段光滑，函数)(PF在L上连续（或)(PF在L上只有有限个间断点且有界），则)(PF在L上可积。基本性质：.)()()]()([2121LLLdsPgkdsPfkdsPgkPfk为常数，则设21,kk2.（线性性质）：假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，P表示平面或空间上的某个点。.)()()(21LLLdsPfdsPfdsPf，则设21LLL3.（积分区域的可加性）：机动目录上页下页返回结束4．（比较性质）：若在曲线L上，)()(PgPf，则5.（绝对值性质）：dsPfdsPfLL)()(。dsPgdsPfLL)()(6．(估值定理)：若在曲线L上MPfm)(，则)(,)(的弧长为LlMldsPfmlL特别地，若存在一点LP0，使得)()(00PgPf，则dsPgdsPfLL)()(机动目录上页下页返回结束7．(中值定理)：若函数)(Pf在曲线L上连续，则在L上至少存在一点0P，使得lPfdsPfL)()(0，（l表示L的弧长）8．（奇偶对称性）：（1）若积分曲线是平面曲线，则奇偶对称性与二重积分类似；（2）若积分曲线是空间曲线，则奇偶对称性与三重积分类似；关于曲线的轮换对称性：平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y对称。如果平面曲线L有轮换对称性，则它的方程F(x,y)=0，有如下特征：将F(x,y)中的变量x,y的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束LLdsxyfdsyxf),(),(如果平面曲线L有轮换对称性，那么交换被积函数f(x,y)中变量x,y的位置，积分值不会改变，即F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)，G(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F，G的表达式。空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x=y=z对称。如果空间曲线L有轮换对称性，则它的方程机动目录上页下页返回结束如果空间曲线L关于直线x=y=z对称，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即LLdsyxzfdszyxf),,(),,(LLdsyzxfdsxzyf),,(),,(机动目录上页下页返回结束曲线对称性的补充性质：1、如果两条平面曲线L1、L2关于直线x=y对称，则21),(),(LLdsxyfdsyxf2、如果两条空间曲线L1、L2关于平面x=y对称，则同理，如果L1、L2关于平面y=z及z=x对称，也有类似的性质。12),,(),,(LLdszxyfdszyxf机动目录上页下页返回结束3、如果空间曲线L关于平面x=y对称，那么交换被积函数f(x,y,z)中的变量x,y的位置，z的位置不动，积分值不会改变。即同理，如果空间曲线L关于平面y=z及z=x对称，有类似的性质。LLdszxyfdszyxf),,(),,(三、对弧长曲线积分的计算定理1（平面曲线的情况）则上具有一阶连续导数在，其中参数方程为的，上有定义且连续在曲线弧设,],[)(),()(),(),(),(ttttytxLLyxf)()()()](),([),(22dtttttfdsyxfL机动目录上页下页返回结束设t由变到时，从点A到B描绘出曲线L。在L上从点A到B取一列点B,,,,,1210nnMMMMMA证明：它们对应于一列单调的参数值nnttttt1210记：iiiMMs1的弧长，1iiittt，则由弧长公式知：dtttsiitti122)]([)]([由定积分中值定理知，存在][1iittt，，使：机动目录上页下页返回结束记：}{maxiis，}{maxiit，显然当0时，0。又),(yxf在L上连续，从而可积，则：dsyxfL),(niisttf10)](),([limniitttttf1220)]([)]([)](),([limdtttttf22)]([)]([)](),([iittts22)]([)]([机动目录上页下页返回结束xdydsdxyo说明:,0,0)1(kkts因此积分限必须满足即(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.机动目录上页下页返回结束,一定要小于上限定积分的下限其它情形：.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc机动目录上页下页返回结束,)(:)3(LLdsyxf),(df)()(]sin)(,cos)([22(4)若曲线L的方程为：0),,(0),,(zyxGzyxF，则需化成参数方程，再进一步用公式求。定理2(空间曲线的情况)：)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf的参数方程为：上有定义且连续在空间曲线弧设LLzyxf,),,(则导数阶上具有连续的一在其中,],[)(),(),(ttt机动目录上页下页返回结束例1计算dsxyL，其中L是由1x，0y，2xy组成的封闭曲线。机动目录上页下页返回结束解xy2xyo)0,1(A)1,1(BOBABOAL10,0,:xyxxOA10,,1:yyyxAB10,,:2xxyxxOBdsxyOA0dsxyABdyy1021dsxyOBdxxxx2102)2(112012455120612455dsxyL例2：计算dsyxRL222，其中L是上半圆弧0,22yRxyx。机动目录上页下页返回结束解1：参数方程,sin2cos22:RyRRxL0dsyxRL222xyoR),(yxMN2RdyxyxR220222机动目录上页下页返回结束,sin2cos22:RyRRxL0dsyxRL222dRR02cos122RxyoR),(yxMN2RdyxyxR220222dR0222sin242dR02|2sin|21)2(2sin02dR机动目录上页下页返回结束解2：参数方程,sincoscos:2RyRxL20dsyxRL222dRRR2022)2cos()2sin(|sin|dR202sin2RxyoR),(yxMN例2：计算dsyxRL222，其中L是上半圆弧0,22yRxyx。机动目录上页下页返回结束解3：极坐标,cos:RL20dsyxRL222dRRR2022)sin()cos(|sin|dR202sin2RxyoR),(yxMN202222d)()(R例2：计算dsyxRL222，其中L是上半圆弧0,22yRxyx。dds例3.计算其中为球面解:,1141)21(21:22zxyx:202)sin2(2)sin2(dsIL29d2cos221z.1的交线与平面zx29222zyx化为参数方程21cos2xsin2y则机动目录上页下页返回结束18d22920解1:xoyz首先找曲线的参数方程就可得到第三式利用两式的的参数方程这就是参数方程平面投影曲线的在先找0,,,zyxyxLxyLyxzzyx解出从,0得代入,2222azyx22221ayxyx其中L为球面被平面所截的圆周.例4.计算机动目录上页下页返回结束则投影曲线方程为021222zayxyx4旋转平面直角坐标系逆时针将xoy)(22)(22YXyYXx则2223aYX方程化为椭圆此椭圆参数方程为:逆时针旋转cossinsincosYXyYXx机动目录上页下页返回结束taYtaXsin,cos3得椭圆参数方程换回原坐标,)sincos3(21)sincos3(21tataytatax得到中将它们代入,0zyxtazcos32机动目录上页下页返回结束的参数方程曲线Ltaztataytataxcos32)sincos3(21)sincos3(212222222)](sin32)cossin31(2)cossin31(2[dttattatta22222)]())(())(())([()(dttztytxds22)(dta机动目录上页下页返回结束20222)sincos31(2adtttadsxL20223)sin3cossin32(cos6dttttta203)]2cos1(32sin32)2cos1[(12dtttta332a机动目录上页下页返回结束解2:xoyz首先找