广东中考数学-§2.4-不等式与不等式组

考点一不等式和一元一次不等式(组)A组2015—2019年广东中考题组1.(2018广东,6,3分)不等式3x-1≥x+3的解集是 ()A.x≤4B.x≥4C.x≤2D.x≥2答案D根据一元一次不等式的解法,移项,得3x-x≥3+1,合并同类项,得2x≥4,解得x≥2.故选D.2.(2017深圳,6,3分)不等式组 的解集为 ()A.x-1B.x3C.x-1或x3D.-1x3325,21xx答案D由3-2x5得x-1,由x-21得x3,∴原不等式组的解集为-1x3,故选D.3.(2016茂名,8,3分)不等式组 的解集在数轴上表示为 () 1,1xx答案B不等式组 的解集为-1x≤1,故选B.1,1xx4.(2016广东,13,4分)不等式组 的解集是.122,2132xxxx答案-3x≤1解析解x-1≤2-2x,得x≤1.解  ,得x-3.所以原不等式组的解集为-3x≤1.23x12x5.(2019广东,17,6分)解不等式组: 12,2(1)4.xx①②解析由①,得x3, (2分)由②,得x1, (4分)∴原不等式组的解集是x3. (6分)考点二一元一次不等式(组)的应用1.(2018广州,21,12分)友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售;方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少?最少费用是多少元?(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.解析(1)当x=8时,方案一费用为0.9a·8=7.2a元,方案二费用为5a+0.8a(8-5)=7.4a元,∵a0,∴7.2a7.4a,∴方案一费用最少,最少费用是7.2a元.(2)若x≤5,则方案一每台按售价的九折销售,方案二每台按售价销售,所以采用方案一购买合算;若x5,则方案一的费用为0.9ax元,方案二的费用为5a+0.8a(x-5)=(0.8ax+a)元,由题意得0.9ax0.8ax+a,解得x10,所以若该公司采用方案二购买更合算,则x的取值范围是x10且x为正整数.思路分析(1)当x=8时,分别计算两种优惠方案所需要的费用,进行比较;(2)根据“方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售”分情况与方案一的费用进行比较.规律方法列代数式解应用题应该注意的问题:2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“·”或者省略不写.1.在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.3.在数和表示数的字母的乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数,则要把它化成假分数.2.(2016茂名,23,8分)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息:(1)陈经理查看计划书时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本.请求出A、B两类图书的标价;(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案:A类图书每本按标价降低a(0a5)元销售,B类图书价格不变.那么书店应如何进货才能获得最大利润?“读书节”活动计划书书本类别A类B类进价(单位:元)1812备注1.用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本;2.A类图书不少于600本;……解析(1)设B类图书的标价为x元,则A类图书的标价为1.5x元,得: -10= . (1分)解得x=18. (2分)经检验,x=18是原方程的根. (3分)1.5x=1.5×18=27.答:A类图书的标价为27元,B类图书的标价为18元. (4分)(2)设购进A类图书t本,总利润为w元.18t+12(1000-t)≤16800,解得t≤800,因为购进A类图书不少于600本,所以600≤t≤800. (5分)w=(27-a-18)t+(18-12)(1000-t)=(3-a)t+6000, (6分)因为0a5,所以①当3-a=0,即a=3时,无论如何进货利润都一样;540x5401.5x②当3-a0,即3a5时,w随t的增大而减少,t取最小值600时,利润w最大.1000-600=400,所以购进A类图书600本,购进B类图书400本;③当3-a0,即0a3时,w随t的增大而增大,t取最大值800时,利润w最大.1000-800=200,所以购进A类图书800本,购进B类图书200本. (8分)思路分析(1)列分式方程求出A、B类图书的标价;(2)先构造不等式求出购进A类图书本数t的取值范围,再求出总利润的关于a、t的表达式,然后根据a、t的取值范围分类讨论,求出获利最大的购书方案.评析本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值问题.解答本题的关键在于读懂题意,设出未知数,找出等量关系和不等关系,列出方程和不等式(组)求解.考点一不等式和一元一次不等式(组)B组2015—2019年全国中考题组1.(2019河北,4,3分)语句“x的 与x的和不超过5”可以表示为()A. +x≤5B. +x≥5C. ≤5D. +x=5188x8x85x8x答案Ax的 与x的和用代数式表示为 +x,根据“x的 与x的和不超过5”可得 +x≤5,故选A.188x188x2.(2019重庆A卷,11,4分)若关于x的一元一次不等式组 的解集是x≤a,且关于y的分式方程 - =1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为()A.0B.1C.4D.611(42),423122xaxx21yay41yy答案B解不等式x- (4a-2)≤ ,得x≤a,解不等式 x+2,得x5.∵解集是x≤a,∴a5.解分式方程 - =1,得y= .∵关于y的分式方程有非负整数解,∴ ≥0,∴a≥-3,∴-3≤a5.∵ 为整数,∴a=-3,-1,1,3.∵当a=-1时,y=1,不是分式方程的解,∴a=-3,1,3,∴-3+1+3=1,即符合条件的所有整数a的和为1,故选B.1412312x21yay41yy32a32a32a3.(2018辽宁沈阳,14,3分)不等式组 的解集是.20,360xx答案-2≤x2解析由x-20得x2.由3x+6≥0得,x≥-2.两个不等式的解集在数轴上表示为 则不等式组的解集为-2≤x2.思路分析先分别解两个不等式,再求出解集的公共部分.4.(2018河南,13,3分)不等式组 的最小整数解是.52,43xx答案-2解析解不等式x+52,得x-3;解不等式4-x≥3,得x≤1,所以不等式组的解集为-3x≤1.故其最小整数解为-2.5.(2017新疆,17,6分)解不等式组 12,121.3xxx①②解析解不等式①,得x≤1.解不等式②,得x4.所以不等式组的解集为x≤1.解题关键熟知“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”的口诀是解题的关键.考点二一元一次不等式(组)的应用1.(2018山西,13,3分)2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm. 答案55解析设行李箱的长为8xcm,高为11xcm,20+8x+11x≤115,解得x≤5,11x≤55,所以,高的最大值为55cm.2.(2019山西,19,8分)某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式;(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱.解析(1)y1=30x+200.y2=40x.(2)由y1y2,得30x+20040x,解得x20.当x20时,选择方式一比方式二省钱.3.(2019福建,22,10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m;(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.解析(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又 = 8,所以m35,依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20.故该车间的日废水处理量为20吨.(2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨.①当0x≤20时,依题意得,8x+30≤10x,解得x≥15,所以15≤x≤20.②当x20时,依题意得,12(x-20)+20×8+30≤10x,解得x≤25,所以20x≤25.综上所述,15≤x≤25.故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.3703035687易错警示在解第(1)问时,要判断m与35的大小关系.在解第(2)问时,要考虑到0x≤20时的费用情况.4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元.当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875元?解析(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k≠0,由题意得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600.当x=115时,m=-5×115+600=25.(2)80;100;2000.(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)·(90-a)≥3750.解得a≤65.答:该产品的成本单价应不超过65元.85175,95125.kbkb5,600.kb思路分析(1)在表格中任选两对x,y的值,由待定系数法求得y关于x的函数解析式,把x=115代入求得m的值;(2)由85-875÷175=80,得成本单价,根据题意可求得w关于x的函数解析式,配方得解;(3)列出以a为未知数的一元一次不等式,解不等式即可.易错警示解答第(2)问时,容易从表格中选取数值直接填空,造成错解,正确解法为:求出w关于x的解析式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2000,根据实